Номер 23.23, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.23. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AB = CD = a$, $AC = BD = b$, $BC = AD = c$. Найдите угол и расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Данный тетраэдр DABC является равногранным (или равнобедренным), так как его противолежащие ребра попарно равны. Все его грани – равные между собой треугольники со сторонами a, b, c.

Для решения задачи удобно поместить тетраэдр в систему координат. Разместим вершину D в начале координат D(0, 0, 0). Выберем оси так, чтобы ребра DA, DB, DC не были компланарны. Более того, для равногранного тетраэдра можно найти такую прямоугольную систему координат, в которой вершины можно представить следующим образом:

D(0, 0, 0)
A(x, y, 0)
B(x, 0, z)
C(0, y, z)

Теперь найдем квадраты длин ребер через координаты x, y, z:

$AD^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-0)^2 = x^2 + y^2 = c^2$
$BC^2 = (x-0)^2 + (0-y)^2 + (z-z)^2 = x^2 + y^2 = c^2$

$BD^2 = (x-0)^2 + (0-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + z^2 = b^2$
$AC^2 = (x-0)^2 + (y-y)^2 + (0-z)^2 = x^2 + z^2 = b^2$

$CD^2 = (0-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = y^2 + z^2 = a^2$
$AB^2 = (x-x)^2 + (y-0)^2 + (0-z)^2 = y^2 + z^2 = a^2$

Мы получили систему уравнений:

$x^2 + y^2 = c^2$
$x^2 + z^2 = b^2$
$y^2 + z^2 = a^2$

Сложив все три уравнения, получим: $2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$.

Решая эту систему, выразим $x^2, y^2, z^2$ через $a^2, b^2, c^2$:

$x^2 = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$
$y^2 = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
$z^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$

Теперь мы можем найти угол и расстояние между прямыми AB и CD.

Угол $\phi$ между скрещивающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} = (x-x, 0-y, z-0) = (0, -y, z)$
$\vec{CD} = (0-0, 0-y, 0-z) = (0, -y, -z)$

Косинус угла между векторами находится по формуле:

$\cos\phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{CD}||}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot 0 + (-y)(-y) + (z)(-z) = y^2 - z^2$

Найдем длины векторов:

$||\vec{AB}|| = \sqrt{0^2 + (-y)^2 + z^2} = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{a^2} = a$
$||\vec{CD}|| = \sqrt{0^2 + (-y)^2 + (-z)^2} = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{a^2} = a$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos\phi = \frac{|y^2 - z^2|}{a \cdot a} = \frac{|y^2 - z^2|}{a^2}$

Теперь подставим выражения для $y^2$ и $z^2$:

$y^2 - z^2 = \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}\right) - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right) = \frac{a^2 + c^2 - b^2 - a^2 - b^2 + c^2}{2} = \frac{2c^2 - 2b^2}{2} = c^2 - b^2$

Таким образом, косинус угла равен:

$\cos\phi = \frac{|c^2 - b^2|}{a^2}$

Ответ: Угол $\phi$ между прямыми AB и CD равен $\arccos\left(\frac{|c^2 - b^2|}{a^2}\right)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Вектор нормали к обеим этим плоскостям будет перпендикулярен направляющим векторам прямых, т.е. его можно найти как векторное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -y & z \\ 0 & -y & -z \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-y)(-z) - z(-y)) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (2yz, 0, 0)$

Вектор нормали $\vec{n} = (2yz, 0, 0)$ параллелен оси Ox. Следовательно, плоскости, содержащие наши прямые, перпендикулярны оси Ox и имеют уравнения вида $X = const$.

Прямая AB проходит через точку A(x, y, 0) и точку B(x, 0, z). Обе точки имеют координату $X=x$. Значит, прямая AB лежит в плоскости $\pi_1$, заданной уравнением $X=x$.

Прямая CD проходит через точку C(0, y, z) и точку D(0, 0, 0). Обе точки имеют координату $X=0$. Значит, прямая CD лежит в плоскости $\pi_2$, заданной уравнением $X=0$.

Расстояние $d$ между параллельными плоскостями $X=x$ и $X=0$ равно $|x|$.

$d = |x| = \sqrt{x^2}$

Подставим найденное ранее выражение для $x^2$:

$d = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}}$

Ответ: Расстояние $d$ между прямыми AB и CD равно $\sqrt{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}}$.