Номер 23.19, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.19. Докажите, что в равногранном тетраэдре средние линии перпендикулярны скрещивающимся рёбрам, середины которых они соединяют.

Пусть дан равногранный тетраэдр $ABCD$. Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными между собой треугольниками. Важным свойством такого тетраэдра является равенство длин его скрещивающихся (противоположных) рёбер: $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Средней линией (или бимедианой) тетраэдра называется отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер. Возьмём одну из трёх пар скрещивающихся рёбер, например, $AB$ и $CD$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией. Требуется доказать, что средняя линия $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$, то есть $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.

Доказательство перпендикулярности средней линии $MN$ ребру $CD$

Рассмотрим треугольник $CMD$. Отрезок $MN$ является в нём медианой, проведённой к стороне $CD$. Для доказательства перпендикулярности $MN$ к $CD$ достаточно показать, что треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD$, то есть $CM = DM$.

Отрезок $CM$ является медианой грани $ABC$. Длина медианы треугольника со сторонами $a, b, c$, проведённой к стороне $c$, вычисляется по формуле $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$. Таким образом, для медианы $CM$ в $\triangle ABC$ имеем:

$CM^2 = \frac{2AC^2 + 2BC^2 - AB^2}{4}$

Аналогично, отрезок $DM$ является медианой грани $ABD$, проведённой к стороне $AB$. Её длина:

$DM^2 = \frac{2AD^2 + 2BD^2 - AB^2}{4}$

Поскольку тетраэдр $ABCD$ равногранный, то $AC = BD$ и $BC = AD$. Сравнивая выражения для квадратов длин $CM$ и $DM$, видим, что их правые части равны:

$CM^2 = \frac{2AC^2 + 2BC^2 - AB^2}{4} = \frac{2BD^2 + 2AD^2 - AB^2}{4} = DM^2$

Отсюда следует, что $CM = DM$. Значит, треугольник $CMD$ — равнобедренный с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Так как $N$ — середина основания $CD$, то медиана $MN$ является высотой, и, следовательно, $MN \perp CD$.

Ответ: Доказано, что средняя линия $MN$ перпендикулярна ребру $CD$.

Доказательство перпендикулярности средней линии $MN$ ребру $AB$

Теперь рассмотрим треугольник $ANB$. В этом треугольнике $MN$ является медианой, проведённой к стороне $AB$. Докажем, что $\triangle ANB$ — равнобедренный с основанием $AB$, то есть $AN = BN$.

Отрезок $AN$ является медианой грани $ACD$, проведённой к стороне $CD$. Его длина в квадрате равна:

$AN^2 = \frac{2AC^2 + 2AD^2 - CD^2}{4}$

Отрезок $BN$ является медианой грани $BCD$, проведённой к стороне $CD$. Его длина в квадрате равна:

$BN^2 = \frac{2BC^2 + 2BD^2 - CD^2}{4}$

Используя равенства длин скрещивающихся рёбер $AC = BD$ и $AD = BC$, получаем:

$AN^2 = \frac{2AC^2 + 2AD^2 - CD^2}{4} = \frac{2BD^2 + 2BC^2 - CD^2}{4} = BN^2$

Отсюда $AN = BN$, и треугольник $ANB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Медиана $MN$, проведённая к основанию $AB$, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp AB$.

Ответ: Доказано, что средняя линия $MN$ перпендикулярна ребру $AB$.

Таким образом, доказано, что средняя линия равногранного тетраэдра перпендикулярна скрещивающимся рёбрам, середины которых она соединяет. Доказательство для двух других средних линий полностью аналогично.