Номер 23.12, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.12. Периметры всех граней тетраэдра равны. Докажите, что такой тетраэдр является равногранным.

23.12.

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. Обозначим длины его ребер: $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$, $AD = a'$, $BD = b'$, $CD = c'$. В тетраэдре есть три пары противолежащих ребер: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(BC, AD)$. В наших обозначениях это пары $(c, c')$, $(b, b')$ и $(a, a')$.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, все грани которого являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда длины противолежащих ребер тетраэдра попарно равны, то есть $a = a'$, $b = b'$ и $c = c'$. Нам нужно доказать именно это, исходя из условия равенства периметров всех граней.

Грани тетраэдра — это треугольники $\triangle ABC$, $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$. Запишем их периметры:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = c + a + b$
$P_{ABD} = AB + BD + AD = c + b' + a'$
$P_{ACD} = AC + CD + AD = b + c' + a'$
$P_{BCD} = BC + CD + BD = a + c' + b'$

По условию задачи, все эти периметры равны. Обозначим их общее значение через $P$.
$a + b + c = P$
$a' + b' + c = P$
$a' + b + c' = P$
$a + b' + c' = P$

Приравнивая попарно эти выражения, получим систему уравнений:
$a + b + c = a' + b' + c \implies a + b = a' + b'$ (1)
$a + b + c = a' + b + c' \implies a + c = a' + c'$ (2)
$a + b + c = a + b' + c' \implies b + c = b' + c'$ (3)

Перепишем эту систему, сгруппировав переменные, чтобы выразить разности длин противолежащих ребер:
Из (1): $a - a' = b' - b$
Из (2): $a - a' = c' - c$
Из (3): $b - b' = c' - c$

Из первых двух уравнений следует, что $b' - b = c' - c$.
Третье уравнение можно записать как $-(b' - b) = c' - c$.

Таким образом, мы получили два соотношения для одних и тех же величин:
$c' - c = b' - b$
$c' - c = -(b' - b)$

Отсюда следует, что $b' - b = -(b' - b)$, что равносильно $2(b' - b) = 0$. Значит, $b' - b = 0$, или $b' = b$.

Подставив $b' - b = 0$ в равенство $c' - c = b' - b$, получаем $c' - c = 0$, то есть $c' = c$.

Подставив $b' - b = 0$ в равенство $a - a' = b' - b$, получаем $a - a' = 0$, то есть $a' = a$.

Итак, мы доказали, что длины противолежащих ребер тетраэдра попарно равны: $a = a'$, $b = b'$, $c = c'$.

Теперь проверим, являются ли грани тетраэдра равными треугольниками.
Стороны $\triangle ABC$: $a, b, c$.
Стороны $\triangle ABD$: $c, a', b'$, что при подстановке дает $c, a, b$.
Стороны $\triangle ACD$: $b, a', c'$, что при подстановке дает $b, a, c$.
Стороны $\triangle BCD$: $a, b', c'$, что при подстановке дает $a, b, c$.

Все четыре грани имеют одинаковый набор длин сторон $\{a, b, c\}$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), все четыре грани-треугольника конгруэнтны друг другу. Это означает, что тетраэдр является равногранным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если периметры всех граней тетраэдра равны, то такой тетраэдр является равногранным.