Номер 23.9, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.9. Докажите, что если в тетраэдре средние линии равны, то такой тетраэдр является ортоцентрическим.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Обозначим длины его ребер: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Скрещивающимися (или противоположными) ребрами являются пары $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.

Средняя линия тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер. В тетраэдре три средние линии. Обозначим их длины $m_1$, $m_2$, $m_3$, где $m_1$ соединяет середины $AB$ и $CD$, $m_2$ — середины $AC$ и $BD$, а $m_3$ — середины $AD$ и $BC$. По условию задачи, все средние линии равны: $m_1 = m_2 = m_3$.

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (перпендикуляры из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Существует несколько эквивалентных условий ортоцентричности тетраэдра. Одно из них гласит, что тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда суммы квадратов длин его скрещивающихся ребер равны:

$AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2$

Чтобы доказать утверждение задачи, мы выведем формулы, связывающие длины средних линий с длинами ребер тетраэдра, и покажем, что из равенства длин средних линий следует выполнение вышеуказанного условия.

Рассмотрим четырехугольник, вершинами которого являются середины ребер $AC$, $BC$, $BD$ и $AD$. Обозначим эти середины как $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно.

В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией, следовательно, $KL \parallel AB$ и $KL = \frac{1}{2}AB$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $NM$ является средней линией, следовательно, $NM \parallel AB$ и $NM = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, $KL \parallel NM$ и $KL = NM$, что означает, что четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм.

Аналогично, рассматривая треугольники $ACD$ и $BCD$:

$KN$ — средняя линия $\triangle ACD \implies KN \parallel CD$ и $KN = \frac{1}{2}CD$.

$LM$ — средняя линия $\triangle BCD \implies LM \parallel CD$ и $LM = \frac{1}{2}CD$.

Диагоналями параллелограмма $KLMN$ являются отрезки $KM$ и $LN$. Отрезок $KM$ соединяет середины ребер $AC$ и $BD$, то есть это средняя линия длиной $m_2$. Отрезок $LN$ соединяет середины ребер $AD$ и $BC$, то есть это средняя линия длиной $m_3$.

Известно, что в любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Применим это свойство к параллелограмму $KLMN$:

$KM^2 + LN^2 = KL^2 + LM^2 + MN^2 + NK^2 = 2(KL^2 + KN^2)$

Подставим длины сторон и диагоналей:

$m_2^2 + m_3^2 = 2\left(\left(\frac{AB}{2}\right)^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2\right) = \frac{AB^2 + CD^2}{2}$

Поступая аналогичным образом для других пар средних линий (например, рассматривая параллелограмм, образованный серединами ребер $AB, BC, CD, DA$), мы можем получить еще два соотношения:

$m_3^2 + m_1^2 = \frac{AC^2 + BD^2}{2}$

$m_1^2 + m_2^2 = \frac{AD^2 + BC^2}{2}$

Теперь воспользуемся условием задачи, согласно которому $m_1 = m_2 = m_3 = m$. Подставим это значение в полученные уравнения:

1. $m^2 + m^2 = \frac{AB^2 + CD^2}{2} \implies 2m^2 = \frac{AB^2 + CD^2}{2} \implies 4m^2 = AB^2 + CD^2$

2. $m^2 + m^2 = \frac{AC^2 + BD^2}{2} \implies 2m^2 = \frac{AC^2 + BD^2}{2} \implies 4m^2 = AC^2 + BD^2$

3. $m^2 + m^2 = \frac{AD^2 + BC^2}{2} \implies 2m^2 = \frac{AD^2 + BC^2}{2} \implies 4m^2 = AD^2 + BC^2$

Из этих трех равенств следует, что суммы квадратов длин скрещивающихся ребер равны $4m^2$ и, следовательно, равны между собой:

$AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2$

Как было указано ранее, это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если в тетраэдре средние линии равны, то суммы квадратов длин скрещивающихся ребер равны, что является признаком ортоцентрического тетраэдра.