Номер 23.8, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.8. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре средние линии равны.

Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, в котором все четыре высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке. Эквивалентным определением ортоцентрического тетраэдра является то, что его скрещивающиеся (противоположные) рёбра попарно перпендикулярны.

Пусть ABCD — ортоцентрический тетраэдр. Докажем утверждение с помощью векторов. Поместим вершину А в начало координат. Тогда векторы, идущие из А к другим вершинам, будут их радиус-векторами: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$.

Условие перпендикулярности противоположных рёбер в векторной форме выглядит следующим образом:

• $AB \perp CD \implies \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$. Так как $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$, получаем $\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$, или $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.
• $AC \perp BD \implies \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$. Так как $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$, получаем $\vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$, или $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$.
• $AD \perp BC \implies \vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$. Так как $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, получаем $\vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$, или $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{b}$.

Из этих трёх условий следует, что для ортоцентрического тетраэдра скалярные произведения векторов, соответствующих рёбрам, выходящим из одной вершины, равны:$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b}$.Обозначим это общее значение как k.

Средняя линия тетраэдра (также называемая бимедианой) — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер. В тетраэдре ABCD есть три средние линии. Найдём квадраты их длин.

1. Средняя линия, соединяющая середины рёбер AB и CD.Пусть $M_{AB}$ — середина AB, её радиус-вектор $\vec{m}_{AB} = \frac{\vec{b}}{2}$.Пусть $M_{CD}$ — середина CD, её радиус-вектор $\vec{m}_{CD} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.Квадрат длины этой средней линии $l_1$:$l_1^2 = |\vec{m}_{CD} - \vec{m}_{AB}|^2 = |\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b}}{2}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{c} + \vec{d} - \vec{b}|^2$$l_1^2 = \frac{1}{4}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} + \vec{d} - \vec{b}) = \frac{1}{4}(|\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{c}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{b} - 2\vec{d}\cdot\vec{b})$Подставляя $\vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{c}\cdot\vec{b} = \vec{d}\cdot\vec{b} = k$, получаем:$l_1^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2k - 2k - 2k) = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k)$.

2. Средняя линия, соединяющая середины рёбер AC и BD.Пусть $M_{AC}$ — середина AC ($\vec{m}_{AC} = \frac{\vec{c}}{2}$), $M_{BD}$ — середина BD ($\vec{m}_{BD} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$).Квадрат длины этой средней линии $l_2$:$l_2^2 = |\vec{m}_{BD} - \vec{m}_{AC}|^2 = |\frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{c}}{2}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{b} + \vec{d} - \vec{c}|^2$$l_2^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{d}\cdot\vec{c})$Используя $k$:$l_2^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2k - 2k - 2k) = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k)$.

3. Средняя линия, соединяющая середины рёбер AD и BC.Пусть $M_{AD}$ — середина AD ($\vec{m}_{AD} = \frac{\vec{d}}{2}$), $M_{BC}$ — середина BC ($\vec{m}_{BC} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$).Квадрат длины этой средней линии $l_3$:$l_3^2 = |\vec{m}_{BC} - \vec{m}_{AD}|^2 = |\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{d}}{2}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{b} + \vec{c} - \vec{d}|^2$$l_3^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{d})$Используя $k$:$l_3^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2k - 2k - 2k) = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k)$.

Мы получили, что квадраты длин всех трёх средних линий равны одной и той же величине: $l_1^2 = l_2^2 = l_3^2$. Следовательно, равны и сами длины средних линий. Что и требовалось доказать.

Ответ: В ортоцентрическом тетраэдре средние линии равны.