Номер 23.2, страница 240 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.2. Докажите, что если в ортоцентрическом тетраэдре точка пересечения высот совпадает с центроидом тетраэдра, то такой тетраэдр является правильным.

23.2.

Пусть $A, B, C, D$ — вершины ортоцентрического тетраэдра. Пусть $G$ — его центроид, а $H$ — ортоцентр. По условию задачи, $G$ и $H$ совпадают. Поместим начало координат $O$ в эту общую точку $G=H$. Положение вершин тетраэдра зададим радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Поскольку начало координат совпадает с центроидом $G$, радиус-вектор центроида равен нулю: $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \vec{0}$ Отсюда следует, что сумма радиус-векторов вершин равна нулю: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ (1)

Поскольку начало координат совпадает с ортоцентром $H$, высота, опущенная из любой вершины на противоположную грань, проходит через начало координат. Например, высота из вершины $D$ на грань $ABC$ содержит вектор $\vec{d}$. Это означает, что вектор $\vec{d}$ перпендикулярен плоскости грани $ABC$. Следовательно, вектор $\vec{d}$ перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости, в частности, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$. Запишем это условие в виде скалярных произведений: $\vec{d} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{d} \cdot \vec{b} = \vec{d} \cdot \vec{a}$ $\vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{a}$

Проводя аналогичные рассуждения для высот, опущенных из вершин $A, B, C$, мы устанавливаем, что скалярное произведение векторов любых двух различных вершин одинаково. Обозначим это общее значение скалярного произведения буквой $k$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{d} = k$

Теперь воспользуемся равенством (1). Умножим его скалярно на вектор $\vec{a}$: $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{0} = 0$ $|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ Подставляя значение $k$, получаем: $|\vec{a}|^2 + k + k + k = 0$ $|\vec{a}|^2 + 3k = 0 \implies |\vec{a}|^2 = -3k$

Аналогично, умножая скалярно равенство (1) на $\vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{d}$, мы получим, что квадраты длин всех радиус-векторов вершин равны: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = |\vec{d}|^2 = -3k$ Это означает, что все вершины тетраэдра равноудалены от точки $O$, то есть $O$ является центром описанной сферы.

Наконец, найдем квадраты длин ребер тетраэдра. Для ребра $AB$ имеем: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$ Подставляя найденные выражения для квадратов длин и скалярного произведения, получаем: $|\vec{AB}|^2 = (-3k) - 2k + (-3k) = -8k$

Так как этот результат зависит только от $k$, которое одинаково для любой пары вершин, то квадраты длин всех шести ребер тетраэдра равны $-8k$. Следовательно, все ребра тетраэдра имеют одинаковую длину. Тетраэдр, у которого все ребра равны, является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.