Номер 22.16, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.16. В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь боковой поверхности равна площади большего основания и в два раза больше площади меньшего основания. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре её большего основания.

Пусть $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, $S_1$ — площадь большего основания, а $S_2$ — площадь меньшего основания.Согласно условию задачи, имеем следующие соотношения:
$S_{бок} = S_1$
$S_{бок} = 2S_2$
Из этих равенств следует, что $S_1 = 2S_2$.

Основаниями правильной треугольной усеченной пирамиды являются равносторонние треугольники. Пусть $a_1$ — сторона большего основания, а $a_2$ — сторона меньшего основания. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.Тогда площади оснований равны:
$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$
$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим эти выражения в соотношение $S_1 = 2S_2$:
$\frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = 2 \cdot \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$
$a_1^2 = 2a_2^2$
$a_1 = a_2\sqrt{2}$

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему (высоту боковой грани). Периметры оснований равны $P_1 = 3a_1$ и $P_2 = 3a_2$. Пусть $h_a$ — апофема пирамиды.
$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a = \frac{3a_1 + 3a_2}{2} \cdot h_a$
Используем условие $S_{бок} = S_1$:
$\frac{3(a_1 + a_2)}{2} \cdot h_a = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим $a_2 = \frac{a_1}{\sqrt{2}}$ в это уравнение:
$\frac{3(a_1 + \frac{a_1}{\sqrt{2}})}{2} \cdot h_a = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$
$\frac{3a_1(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{2} \cdot h_a = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$
$\frac{3a_1(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})}{2} \cdot h_a = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$
Сократим на $a_1$ (так как $a_1 \neq 0$):
$\frac{3(\sqrt{2}+1)}{2\sqrt{2}} \cdot h_a = \frac{a_1\sqrt{3}}{4}$
Выразим апофему $h_a$:
$h_a = \frac{a_1\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3(\sqrt{2}+1)} = \frac{a_1\sqrt{6}}{6(\sqrt{2}+1)}$

Двугранный угол при ребре большего основания — это угол $\alpha$ между плоскостью боковой грани и плоскостью большего основания. Его можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой усеченной пирамиды $H$, её апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей $r_1 - r_2$. Косинус этого угла равен:
$\cos(\alpha) = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$
$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{a_1/\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a_1}{2\sqrt{6}}$
Найдем разность радиусов:
$r_1 - r_2 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} - \frac{a_1}{2\sqrt{6}} = \frac{a_1\sqrt{2} - a_1}{2\sqrt{6}} = \frac{a_1(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{6}}$

Теперь найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \frac{r_1 - r_2}{h_a} = \frac{\frac{a_1(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{6}}}{\frac{a_1\sqrt{6}}{6(\sqrt{2}+1)}} = \frac{a_1(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{6(\sqrt{2}+1)}{a_1\sqrt{6}}$
$\cos(\alpha) = \frac{6(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{6})^2} = \frac{6(2-1)}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Если $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$, то искомый угол $\alpha$ равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.