Номер 22.9, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.9. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны 8 см и 5 см, а высота пирамиды — 3 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями пирамиды являются правильные треугольники. Пусть $ABC$ — большее основание, а $A_1B_1C_1$ — меньшее.По условию задачи, сторона большего основания $a = AB = BC = AC = 8$ см, сторона меньшего основания $b = A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 = 5$ см. Высота усеченной пирамиды $h = 3$ см.

Требуется найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$. Это сечение представляет собой треугольник $ABC_1$.

Так как пирамида правильная, боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. В частности, трапеции $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равны. Следовательно, их диагонали $AC_1$ и $BC_1$ также равны. Это означает, что треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Площадь треугольника $ABC_1$ можно найти по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M$, где $C_1M$ — высота треугольника, проведенная из вершины $C_1$ к основанию $AB$, а $M$ — середина отрезка $AB$.

Для нахождения длины высоты $C_1M$ воспользуемся методом проекций. Проведем из точки $C_1$ перпендикуляр $C_1P$ на плоскость основания $ABC$. Длина этого перпендикуляра равна высоте пирамиды, то есть $C_1P = h = 3$ см. Треугольник $C_1PM$ является прямоугольным с прямым углом $P$. По теореме Пифагора, $C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2$. Нам нужно найти длину катета $PM$.

Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Так как пирамида правильная, отрезок $O_1O$ является ее высотой, и точка $O$ — проекция точки $O_1$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ (проекция точки $C_1$) будет лежать на луче $OC$, так как треугольники оснований подобны и одинаково ориентированы.

Рассмотрим основание $ABC$. $CM$ — медиана (а также высота и биссектриса) правильного треугольника $ABC$. Ее длина вычисляется по формуле:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Центр $O$ треугольника $ABC$ делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины $C$. Таким образом,$OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.$OC = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Аналогично для меньшего основания $A_1B_1C_1$ (со стороной $b=5$ см) и его центра $O_1$:Радиус описанной окружности $O_1C_1 = R_1 = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Проекция отрезка $O_1C_1$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $OP$. Его длина равна длине $O_1C_1$:$OP = O_1C_1 = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.Точки $M, O, P$ лежат на одной прямой (прямой $MC$). Расстояние $PM$ равно сумме расстояний $PO$ и $OM$:$PM = PO + OM = \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти высоту сечения $C_1M$ из прямоугольного треугольника $C_1PM$:$C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$.Отсюда $C_1M = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $ABC_1$:$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.