Номер 22.14, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.14. Сторона большего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна $a$, а сторона меньшего основания — $b$. Найдите высоту усечённой пирамиды, если острый угол её боковой грани равен $\alpha$.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Стороны её оснований (квадратов) равны $a$ и $b$ (примем $a > b$). Высота пирамиды, которую нужно найти, — $H$. Острый угол боковой грани равен $\alpha$.

Боковая грань представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $a$ и $b$ и острым углом $\alpha$ при большем основании. Найдём высоту этой трапеции, которая является апофемой $h_a$ усечённой пирамиды. Для этого в трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. В образовавшемся прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, — это апофема $h_a$, а прилежащий катет равен полуразности оснований, то есть $\frac{a-b}{2}$.

Из определения тангенса в этом треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{h_a}{\frac{a-b}{2}}$

Отсюда выразим апофему:

$h_a = \frac{a-b}{2} \tan(\alpha)$

Теперь рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту $H$ и апофемы двух противоположных боковых граней. Это сечение также является равнобокой трапецией. Её основания равны $a$ и $b$, боковые стороны — апофемы $h_a$, а высота — искомая высота пирамиды $H$.

В этой трапеции также можно выделить прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является апофема $h_a$, одним катетом — высота пирамиды $H$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности оснований $\frac{a-b}{2}$.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

$H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = h_a^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $h_a$ и решим относительно $H$:

$H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{2} \tan(\alpha)\right)^2$

$H^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \tan^2(\alpha) - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$H^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 (\tan^2(\alpha) - 1)$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательный результат:

$H = \frac{a-b}{2} \sqrt{\tan^2(\alpha) - 1}$

Ответ: $H = \frac{a-b}{2} \sqrt{\tan^2(\alpha) - 1}$