Номер 22.12, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.12. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AD = 4$ см, $A_1D_1 = 2$ см. Грань $AA_1B_1B$ является равнобокой трапецией, а её плоскость перпендикулярна плоскости основания. Угол между плоскостью грани $CC_1D_1D$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей её четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1C_1C} + S_{CC_1D_1D} + S_{DD_1A_1A}$.

Для нахождения площадей граней определим высоту пирамиды $h$ и расположение верхнего основания относительно нижнего. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль $AB$ и осью $Oy$ вдоль $AD$. Координаты вершин нижнего основания, являющегося квадратом со стороной 4 см: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(4, 4, 0)$, $D(0, 4, 0)$.

По условию, грань $AA_1B_1B$ — равнобокая трапеция, плоскость которой перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота трапеции $AA_1B_1B$ является высотой усечённой пирамиды $h$. Опустим из вершин $A_1$ и $B_1$ перпендикуляры на основание $AB$. Пусть их основаниями будут точки $K$ и $L$ соответственно. Тогда $A_1K = h$. Так как трапеция равнобокая с основаниями $AB=4$ см и $A_1B_1=2$ см, то $AK = LB = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$ см. Таким образом, проекциями вершин $A_1$ и $B_1$ на плоскость основания являются точки $K(1, 0, 0)$ и $L(3, 0, 0)$. Координаты вершин верхнего основания: $A_1(1, 0, h)$ и $B_1(3, 0, h)$.

Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат со стороной 2 см. Вектор $\vec{A_1B_1} = (2, 0, 0)$. Вектор $\vec{A_1D_1}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{A_1B_1}$ и иметь длину 2. В выбранной системе координат $\vec{A_1D_1} = (0, 2, 0)$. Тогда координаты остальных вершин верхнего основания: $D_1 = A_1 + \vec{A_1D_1} = (1, 0, h) + (0, 2, 0) = (1, 2, h)$ и $C_1 = B_1 + \vec{A_1D_1} = (3, 0, h) + (0, 2, 0) = (3, 2, h)$.

Теперь найдём высоту $h$, используя условие, что угол между плоскостью грани $CC_1D_1D$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Плоскость основания задаётся уравнением $z=0$, её нормальный вектор $\vec{n}_{осн} = (0, 0, 1)$. Нормальный вектор $\vec{n}_{гр}$ к плоскости $CC_1D_1D$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DC}=(4,0,0)$ и $\vec{DD_1}=(1-0, 2-4, h-0) = (1, -2, h)$, лежащих в этой плоскости.$\vec{n}_{гр} = \vec{DC} \times \vec{DD_1} = (0, -4h, -8)$. В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(0, h, 2)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{осн} \cdot \vec{n}_{гр}|}{|\vec{n}_{осн}| \cdot |\vec{n}_{гр}|}$.$\cos 60^\circ = \frac{|(0,0,1) \cdot (0,h,2)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+h^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{h^2+4}}$.$\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{h^2+4}} \implies \sqrt{h^2+4} = 4 \implies h^2+4=16 \implies h^2=12 \implies h = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площади боковых граней.

Площадь грани $AA_1B_1B$ — это площадь равнобокой трапеции с основаниями 4 и 2 и высотой $h=2\sqrt{3}$.$S_{AA_1B_1B} = \frac{4+2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь грани $CC_1D_1D$ можно найти через площадь её проекции на плоскость основания. Проекцией является трапеция с вершинами $C(4,4,0)$, $D(0,4,0)$, $C_1'(3,2,0)$, $D_1'(1,2,0)$. Её основания равны 4 и 2, а высота $4-2=2$. Площадь проекции $S_{пр} = \frac{4+2}{2} \cdot 2 = 6$ см$^2$.Площадь грани $S_{CC_1D_1D} = \frac{S_{пр}}{\cos 60^\circ} = \frac{6}{1/2} = 12$ см$^2$.

Рассмотрим грань $DD_1A_1A$. Это трапеция с основаниями $AD=4$ и $A_1D_1=2$. Найдём, является ли она прямоугольной. Вектор боковой стороны $\vec{AA_1} = (1, 0, 2\sqrt{3})$ и вектор основания $\vec{AD} = (0, 4, 0)$. Их скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 2\sqrt{3} \cdot 0 = 0$. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $AD$, и является высотой этой трапеции. Длина высоты $AA_1 = |\vec{AA_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+12} = \sqrt{13}$ см.Площадь $S_{DD_1A_1A} = \frac{AD+A_1D_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{4+2}{2} \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{13}$ см$^2$.

Грань $BB_1C_1C$ симметрична грани $DD_1A_1A$ относительно плоскости $x=2$ и, следовательно, конгруэнтна ей. Таким образом, $S_{BB_1C_1C} = S_{DD_1A_1A} = 3\sqrt{13}$ см$^2$.

Суммарная площадь боковой поверхности равна:$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{CC_1D_1D} + S_{DD_1A_1A} + S_{BB_1C_1C} = 6\sqrt{3} + 12 + 3\sqrt{13} + 3\sqrt{13} = (12 + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{13})$ см$^2$.

Ответ: $12 + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{13}$ см$^2$.