Номер 22.10, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.10. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ равны 8 см и 6 см, а высота пирамиды $-$ $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AC$ и точку $B_1$.

Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основаниями пирамиды являются квадраты $ABCD$ (нижнее) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхнее). Сторона нижнего основания $a = 8$ см, сторона верхнего основания $b = 6$ см. Высота пирамиды $h = 3\sqrt{3}$ см. Требуется найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AC$ и точку $B_1$.

1. Определение формы сечения

Секущая плоскость определяется тремя точками $A$, $C$ и $B_1$.

Поскольку точки $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$, отрезок $AC$ является стороной искомого сечения.

Плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной линии ее пересечения с плоскостью нижнего основания, то есть параллельной прямой $AC$.

Так как основания являются квадратами, их диагонали $AC$ и $A_1C_1$ параллельны. Значит, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания должна проходить через точку $B_1$ и быть параллельной диагонали $A_1C_1$. В плоскости квадрата $A_1B_1C_1D_1$ такая прямая имеет с самим квадратом только одну общую точку — $B_1$.

Это означает, что секущая плоскость не пересекает другие ребра верхнего основания ($A_1D_1$, $D_1C_1$) и боковые ребра, выходящие из вершин $D_1$ и $D$ (кроме уже задействованных $A$, $C$, $B_1$). Таким образом, искомое сечение является треугольником $AB_1C$.

2. Расчет площади сечения

Треугольник $AB_1C$ является равнобедренным, так как в правильной усеченной пирамиде отрезки, соединяющие вершины нижнего основания с вершиной верхнего основания, равны ($AB_1 = CB_1$). Это следует из равенства боковых граней.

Площадь треугольника $AB_1C$ можно найти по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.В качестве основания возьмем диагональ $AC$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет отрезок $B_1O$, где $O$ — центр нижнего основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$).

Найдем длину основания $AC$. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 8$ см, его диагональ равна:$AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Найдем длину высоты $B_1O$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OB_pB_1$, где $B_p$ — проекция точки $B_1$ на плоскость нижнего основания.

• Катет $B_1B_p$ равен высоте усеченной пирамиды: $B_1B_p = h = 3\sqrt{3}$ см.
• Катет $OB_p$ равен расстоянию от центра верхнего основания $O_1$ до вершины $B_1$. $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат со стороной $b = 6$ см, его диагональ $A_1C_1 = 6\sqrt{2}$ см. Тогда расстояние от центра до вершины $O_1B_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = 3\sqrt{2}$ см. Следовательно, $OB_p = 3\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $B_1O$:$(B_1O)^2 = (B_1B_p)^2 + (OB_p)^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 27 + 18 = 45$.$B_1O = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $AB_1C$:$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1O = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 12\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{10}$ см$^2$.