Номер 22.11, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.11. Боковое ребро $BB_1$ усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярно плоскости основания, $BB_1 = 4$ см, $AB = BC = 16$ см, $A_1B_1 = B_1C_1 = 10$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей её боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1}$.

1. Вычисление площадей граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$

По условию, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1$ является высотой для боковых граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$, которые, следовательно, являются прямоугольными трапециями.

Площадь трапеции $ABB_1A_1$ с основаниями $AB = 16$ см, $A_1B_1 = 10$ см и высотой $BB_1 = 4$ см равна:$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{16 + 10}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$ см².

Так как $AB=BC=16$ см и $A_1B_1=B_1C_1=10$ см, грань $BCC_1B_1$ имеет такие же размеры, и её площадь также равна:$S_{BCC_1B_1} = 52$ см².

2. Вычисление площади грани $ACC_1A_1$

Грань $ACC_1A_1$ является трапецией с основаниями $AC$ и $A_1C_1$.Сначала найдём длины этих оснований по теореме косинусов. В треугольнике $ABC$ с $AB=BC=16$ см и $\angle ABC = 120^\circ$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 \cdot 256 = 768$.$AC = \sqrt{768} = 16\sqrt{3}$ см.

Основания усечённой пирамиды подобны, поэтому $\angle A_1B_1C_1 = \angle ABC = 120^\circ$. В треугольнике $A_1B_1C_1$ с $A_1B_1=B_1C_1=10$ см:$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos(\angle A_1B_1C_1)$$A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 100 - 2 \cdot 100 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 \cdot 100 = 300$.$A_1C_1 = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.

Далее, найдём боковые рёбра $AA_1$ и $CC_1$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABB_1A_1$. Проведя высоту из $A_1$ к $AB$, получим прямоугольный треугольник, катеты которого равны высоте трапеции $BB_1=4$ см и разности оснований $AB-A_1B_1 = 16-10=6$ см. По теореме Пифагора:$AA_1 = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.Поскольку трапеции $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равны, $CC_1 = AA_1 = 2\sqrt{13}$ см.

Таким образом, $ACC_1A_1$ — равнобедренная трапеция. Найдём её высоту $h$. Основание высоты, опущенной из $A_1$ на $AC$, отсекает от $AC$ отрезок, равный полуразности оснований: $\frac{AC - A_1C_1}{2} = \frac{16\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.По теореме Пифагора:$h^2 = AA_1^2 - (3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{13})^2 - 27 = 52 - 27 = 25$.$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь трапеции $ACC_1A_1$:$S_{ACC_1A_1} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot h = \frac{16\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{26\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = 13\sqrt{3} \cdot 5 = 65\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление общей площади боковой поверхности

Суммируем площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} = 52 + 52 + 65\sqrt{3} = 104 + 65\sqrt{3}$ см².

Ответ: $104 + 65\sqrt{3}$ см².