Номер 23.1, страница 240 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.1. Докажите, что правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром.

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его четыре высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Одним из критериев ортоцентрического тетраэдра является попарная перпендикулярность его противоположных ребер. Чтобы доказать, что правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром, достаточно показать, что ее противоположные ребра перпендикулярны.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $SABC$. По определению, ее основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Из этого следует, что боковые ребра пирамиды равны ($SA = SB = SC$), а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Докажем перпендикулярность одной пары противоположных ребер, например, ребра $SA$ и ребра $BC$.

Пусть $M$ — середина ребра $BC$.

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Следовательно, медиана $AM$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AM \perp BC$.

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Так как пирамида правильная, ее боковые ребра равны, $SB = SC$. Значит, треугольник $SBC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, медиана $SM$ перпендикулярна основанию $BC$, то есть $SM \perp BC$.

Итак, мы имеем, что ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AM$ и $SM$. Эти прямые лежат в плоскости $(SAM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, ребро $BC$ перпендикулярно плоскости $(SAM)$.

Ребро $SA$ принадлежит плоскости $(SAM)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp SA$.

В силу симметрии правильной пирамиды, аналогичные рассуждения можно провести и для других пар противоположных ребер:

• $SB \perp AC$ (рассматривая плоскость, проходящую через ребро $SB$ и медиану основания $BN$, где $N$ — середина $AC$)
• $SC \perp AB$ (рассматривая плоскость, проходящую через ребро $SC$ и медиану основания $CK$, где $K$ — середина $AB$)

Поскольку все три пары противоположных ребер ($SA$ и $BC$, $SB$ и $AC$, $SC$ и $AB$) правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, она удовлетворяет критерию ортоцентрического тетраэдра.

Ответ: Утверждение доказано. Правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром, так как ее противоположные ребра попарно перпендикулярны.