Номер 23.5, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.5. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно перпендикулярны.

Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, все четыре высоты которого (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Назовём эту точку пересечения ортоцентром тетраэдра и обозначим её буквой $H$.

Пусть дан ортоцентрический тетраэдр $ABCD$. Нам необходимо доказать, что его скрещивающиеся рёбра попарно перпендикулярны. Парами скрещивающихся рёбер в тетраэдре являются $(AD, BC)$, $(AB, CD)$ и $(AC, BD)$. Мы должны доказать, что $AD \perp BC$, $AB \perp CD$ и $AC \perp BD$.

Доказательство для пары рёбер $AD$ и $BC$:

Рассмотрим высоту, опущенную из вершины $A$ на плоскость грани $BCD$. По определению ортоцентрического тетраэдра, эта высота проходит через ортоцентр $H$. Следовательно, прямая $AH$ является высотой, и по определению высоты $AH$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Из того, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $BCD$, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $BC$ лежит в плоскости $BCD$, следовательно, мы имеем $AH \perp BC$.

Теперь рассмотрим высоту, опущенную из вершины $D$ на плоскость грани $ABC$. Эта высота также проходит через ортоцентр $H$. Таким образом, прямая $DH$ является высотой и перпендикулярна плоскости $ABC$.

Аналогично предыдущему шагу, так как прямая $DH$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $BC$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, мы имеем $DH \perp BC$.

Мы установили, что ребро $BC$ перпендикулярно двум прямым: $AH$ и $DH$. Эти две прямые пересекаются в точке $H$ и, следовательно, определяют плоскость $ADH$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADH$.

Ребро $AD$ целиком лежит в плоскости $ADH$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ADH$, она перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp AD$.

Доказательство для других пар рёбер:

Перпендикулярность двух других пар скрещивающихся рёбер доказывается абсолютно аналогично.

Чтобы доказать, что $AB \perp CD$, мы используем тот факт, что ребро $AB$ перпендикулярно высотам $CH$ (так как $CH \perp$ плоскости $ABD$) и $DH$ (так как $DH \perp$ плоскости $ABC$). Следовательно, $AB$ перпендикулярно плоскости $CDH$, а значит, и ребру $CD$, которое лежит в этой плоскости.

Чтобы доказать, что $AC \perp BD$, мы показываем, что ребро $AC$ перпендикулярно высотам $BH$ (так как $BH \perp$ плоскости $ACD$) и $DH$ (так как $DH \perp$ плоскости $ABC$). Следовательно, $AC$ перпендикулярно плоскости $BDH$, а значит, и ребру $BD$, которое лежит в этой плоскости.

Таким образом, все три пары скрещивающихся рёбер в ортоцентрическом тетраэдре попарно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.