Номер 23.11, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.11. Докажите, что в равногранном тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны.

Пусть дан равногранный тетраэдр $ABCD$. Обозначим длины его рёбер следующим образом:

$|AB| = a$, $|CD| = a'$;

$|AC| = b$, $|BD| = b'$;

$|AD| = c$, $|BC| = c'$.

Пары скрещивающихся (противоположных) рёбер — это $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$. Нам необходимо доказать, что $a = a'$, $b = b'$ и $c = c'$.

По определению, равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Это означает, что наборы длин сторон у всех четырёх граней одинаковы. Пусть этот набор длин будет $\{l_1, l_2, l_3\}$.

Рассмотрим грани тетраэдра и наборы длин их сторон:

1. Грань $\triangle ABC$ имеет стороны с длинами $\{|AB|, |AC|, |BC|\} = \{a, b, c'\}$.

2. Грань $\triangle ABD$ имеет стороны с длинами $\{|AB|, |AD|, |BD|\} = \{a, c, b'\}$.

3. Грань $\triangle ACD$ имеет стороны с длинами $\{|AC|, |AD|, |CD|\} = \{b, c, a'\}$.

4. Грань $\triangle BCD$ имеет стороны с длинами $\{|BC|, |BD|, |CD|\} = \{c', b', a'\}$.

Поскольку все грани конгруэнтны, наборы длин их сторон должны быть равны одному и тому же набору $\{l_1, l_2, l_3\}$:

$\{a, b, c'\} = \{l_1, l_2, l_3\}$ (1)

$\{a, c, b'\} = \{l_1, l_2, l_3\}$ (2)

$\{b, c, a'\} = \{l_1, l_2, l_3\}$ (3)

$\{c', b', a'\} = \{l_1, l_2, l_3\}$ (4)

Сравнивая множества (1) и (2), мы видим, что у них есть общий элемент $a$. Следовательно, оставшиеся элементы также должны образовывать равные множества:

$\{b, c'\} = \{c, b'\}$

Это равенство возможно в двух случаях:

I) $b = c$ и $c' = b'$;

II) $b = b'$ и $c' = c$.

Теперь сравним множества (3) и (4). У них общий элемент $a'$. Таким образом, должно выполняться:

$\{b, c\} = \{c', b'\}$

Это равенство также возможно в двух случаях:

III) $b = c'$ и $c = b'$;

IV) $b = b'$ и $c = c'$.

Рассмотрим все возможные комбинации этих случаев.

Случай 1: Выполняются условия II и IV.

Из условия II имеем $b=b'$ и $c'=c$. Из условия IV имеем $b=b'$ и $c=c'$. Эти условия идентичны и означают, что $|AC|=|BD|$ и $|BC|=|AD|$. Это доказывает равенство двух пар скрещивающихся рёбер. Чтобы доказать равенство третьей пары, $a=a'$, сравним множества (1) и (3):

$\{a, b, c'\} = \{b, c, a'\}$

Подставляя $c' = c$, получаем:

$\{a, b, c\} = \{b, c, a'\}$

Отсюда следует, что $\{a\} = \{a'\}$, то есть $a = a'$. Таким образом, в этом случае доказано, что все скрещивающиеся рёбра попарно равны: $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$.

Случай 2: Выполняются условия I и III.

Из I имеем $b = c$ и $c' = b'$. Из III имеем $b = c'$ и $c = b'$. Совмещая эти равенства, получаем $b = c = b' = c'$. То есть, четыре ребра тетраэдра ($AC, AD, BD, BC$) равны между собой. Вернёмся к наборам длин сторон граней. Например, (1) и (3):

$\{a, b, b\} = \{l_1, l_2, l_3\}$

$\{b, b, a'\} = \{l_1, l_2, l_3\}$

Из равенства этих наборов следует, что $a = a'$. Равенство остальных пар ($b=b', c=c'$) также очевидно, так как $b=c=b'=c'$.

Другие комбинации случаев.

Если выполняются условия I и IV, то $b=c, c'=b'$ и $b=b', c=c'$. Отсюда следует $b=c=b'=c'$, что приводит к результату Случая 2.

Если выполняются условия II и III, то $b=b', c'=c$ и $b=c', c=b'$. Отсюда следует $b=b'=c=c'$, что также приводит к результату Случая 2.

Таким образом, во всех возможных конфигурациях длин рёбер равногранного тетраэдра выполняется попарное равенство длин скрещивающихся рёбер. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равногранном тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны.