Номер 23.15, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.15. Все грани описанного вокруг тетраэдра параллелепипеда являются ромбами. Докажите, что этот тетраэдр является ортоцентрическим.

Для доказательства того, что тетраэдр является ортоцентрическим, необходимо и достаточно доказать, что его противоположные рёбра попарно перпендикулярны.

Рассмотрим тетраэдр и описанный вокруг него параллелепипед. Рёбра тетраэдра являются диагоналями граней этого параллелепипеда.

Пусть параллелепипед задан тремя векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, выходящими из одной вершины. Тогда рёбра тетраэдра, являющиеся диагоналями граней, можно представить парами векторов:

• $(\vec{a}+\vec{b})$ и $(\vec{a}-\vec{b})$ — диагонали грани, построенной на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
• $(\vec{b}+\vec{c})$ и $(\vec{b}-\vec{c})$ — диагонали грани, построенной на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$.
• $(\vec{c}+\vec{a})$ и $(\vec{c}-\vec{a})$ — диагонали грани, построенной на векторах $\vec{c}$ и $\vec{a}$.

Пары векторов в каждом пункте соответствуют парам противоположных рёбер тетраэдра.

По условию, все грани описанного параллелепипеда являются ромбами. Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда длины его смежных сторон равны. Для граней нашего параллелепипеда это означает:

• Грань на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является ромбом, следовательно, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
• Грань на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$ является ромбом, следовательно, $|\vec{b}| = |\vec{c}|$.
• Грань на векторах $\vec{c}$ и $\vec{a}$ является ромбом, следовательно, $|\vec{c}| = |\vec{a}|$.

Таким образом, условие задачи эквивалентно равенству длин рёбер параллелепипеда, выходящих из одной вершины: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$.

Теперь проверим перпендикулярность противоположных рёбер тетраэдра, вычислив их скалярные произведения.

1. Для первой пары противоположных рёбер (диагоналей грани на $\vec{a}$ и $\vec{b}$):
   $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.
   Поскольку $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, то $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$. Значит, эти рёбра перпендикулярны.
2. Для второй пары противоположных рёбер (диагоналей грани на $\vec{b}$ и $\vec{c}$):
   $(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$.
   Поскольку $|\vec{b}| = |\vec{c}|$, то $|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$. Значит, эти рёбра перпендикулярны.
3. Для третьей пары противоположных рёбер (диагоналей грани на $\vec{c}$ и $\vec{a}$):
   $(\vec{c}+\vec{a}) \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = |\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2$.
   Поскольку $|\vec{c}| = |\vec{a}|$, то $|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0$. Значит, эти рёбра перпендикулярны.

Так как все три пары противоположных рёбер тетраэдра взаимно перпендикулярны, данный тетраэдр является ортоцентрическим, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.