Номер 23.10, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.10. Существует ли тетраэдр $DABC$ такой, что $AB = CD = 3$ см, $BC = AD = 4$ см, $AC = BD = 5$ см?

Предположим, что такой тетраэдр $DABC$ существует. По условию, его противолежащие ребра равны: $AB = CD = 3$ см, $BC = AD = 4$ см, $AC = BD = 5$ см. В тетраэдре с таким свойством (он называется равногранным) все четыре грани являются равными друг другу треугольниками.

Рассмотрим любую грань, например, грань $ABC$. Ее стороны равны $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 5$ см. Для этих сторон выполняется равенство $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Согласно обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Поскольку все грани равны, они все являются прямоугольными треугольниками со сторонами 3, 4 и 5 см.

Рассмотрим трехгранный угол при вершине $A$. Он образован плоскими углами граней $\triangle DAB$, $\triangle CAB$ и $\triangle CAD$. Для существования невырожденного тетраэдра необходимо, чтобы сумма любых двух из этих трех плоских углов была строго больше третьего.

Определим величины этих углов:

• Грань $\triangle DAB$ имеет стороны $DA=4$, $AB=3$, $DB=5$. Это прямоугольный треугольник, прямой угол лежит напротив гипотенузы $DB$. Таким образом, $\angle DAB = 90^\circ$.
• Грань $\triangle CAB$ имеет стороны $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$. Это прямоугольный треугольник с гипотенузой $AC$. Угол $\angle CAB$ является острым, и его косинус равен $\cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}$.
• Грань $\triangle CAD$ имеет стороны $AD=4$, $CD=3$, $AC=5$. Это прямоугольный треугольник с гипотенузой $AC$. Угол $\angle CAD$ является острым, и его косинус равен $\cos(\angle CAD) = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{5}$.

Теперь проверим условие для трехгранного угла. Найдем сумму двух острых углов. Углы, косинусы которых равны $3/5$ и $4/5$, являются острыми углами одного и того же прямоугольного треугольника, поэтому их сумма равна $90^\circ$.
$\angle CAB + \angle CAD = 90^\circ$.

Третий угол, $\angle DAB$, также равен $90^\circ$. Таким образом, мы получили, что сумма двух плоских углов при вершине $A$ равна третьему: $\angle CAB + \angle CAD = \angle DAB$.

Это нарушает необходимое условие существования трехгранного угла (сумма должна быть строго больше). Равенство означает, что все три грани, сходящиеся в вершине $A$, лежат в одной плоскости. Следовательно, все четыре вершины тетраэдра $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Такой тетраэдр является вырожденным (плоским) и имеет нулевой объем.

Поскольку под "тетраэдром" в геометрии обычно понимают невырожденное тело с положительным объемом, то такого тетраэдра не существует.

Ответ: Нет, не существует.