Номер 23.3, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.3. Высоты тетраэдра $DABC$, проведённые из вершин $A$ и $D$, пересекаются. Докажите, что рёбра $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

Пусть $h_A$ — прямая, содержащая высоту тетраэдра $DABC$, проведённую из вершины $A$ на плоскость грани $(DBC)$, а $h_D$ — прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины $D$ на плоскость грани $(ABC)$.

По определению высоты тетраэдра имеем:

$h_A \perp (DBC)$

$h_D \perp (ABC)$

По условию задачи, прямые $h_A$ и $h_D$ пересекаются. Две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость через $\Pi$. Таким образом, прямые $h_A$ и $h_D$ лежат в плоскости $\Pi$.

Рассмотрим ребро $BC$.

1. Так как $h_A \perp (DBC)$, то прямая $h_A$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(DBC)$. Ребро $BC$ принадлежит плоскости $(DBC)$, следовательно, $h_A \perp BC$.

2. Аналогично, так как $h_D \perp (ABC)$, то прямая $h_D$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$. Ребро $BC$ принадлежит плоскости $(ABC)$, следовательно, $h_D \perp BC$.

Итак, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $h_A$ и $h_D$, которые лежат в плоскости $\Pi$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp \Pi$.

Теперь рассмотрим ребро $AD$. Вершина $A$ лежит на прямой $h_A$, а вершина $D$ — на прямой $h_D$. Поскольку обе прямые $h_A$ и $h_D$ содержатся в плоскости $\Pi$, то точки $A$ и $D$ также принадлежат этой плоскости. Следовательно, прямая $AD$, проходящая через эти две точки, целиком лежит в плоскости $\Pi$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $BC \perp \Pi$ и прямая $AD$ лежит в плоскости $\Pi$, то $BC \perp AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что рёбра $AD$ и $BC$ перпендикулярны.