gdz.top
Номер 23.14, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 23. Тетраэдр - номер 23.14, страница 241.
№23.13
№23.14 (с. 241)
Условие. №23.14 (с. 241)
23.14. Плоскость пересекает рёбра $AB$, $BD$, $DC$ и $AC$ тетраэдра $DABC$ в точках $F$, $M$, $N$ и $P$ соответственно. Известно, что $AF : FB = 1 : 3$, $DN : NC = 1 : 2$, $CP : PA = 5 : 1$. Найдите отношение $BM : MD$.
Решение. №23.14 (с. 241)
Решение 2. №23.14 (с. 241)
Для решения данной задачи воспользуемся обобщенной теоремой Менелая для пространственного четырехугольника. Теорема гласит, что если плоскость пересекает ребра $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1$ замкнутой пространственной ломаной $A_1A_2A_3A_4$ в точках $M_1, M_2, M_3, M_4$ соответственно, то произведение отношений, в которых эти точки делят ребра, равно единице:
$$ \frac{A_1M_1}{M_1A_2} \cdot \frac{A_2M_2}{M_2A_3} \cdot \frac{A_3M_3}{M_3A_4} \cdot \frac{A_4M_4}{M_4A_1} = 1 $$
В нашем случае дан тетраэдр $DABC$. Плоскость пересекает ребра $AB, BD, DC$ и $AC$. Эти ребра образуют замкнутую пространственную ломаную $A \to B \to D \to C \to A$. Точки пересечения на этих ребрах — это $F$ на $AB$, $M$ на $BD$, $N$ на $DC$ и $P$ на $AC$ (ребро $CA$).
Применим теорему для этого пути и данных точек пересечения:
$$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BM}{MD} \cdot \frac{DN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 $$
Из условия задачи нам известны следующие отношения:
- $AF : FB = 1 : 3$, следовательно $\frac{AF}{FB} = \frac{1}{3}$.
- $DN : NC = 1 : 2$, следовательно $\frac{DN}{NC} = \frac{1}{2}$.
- $CP : PA = 5 : 1$, следовательно $\frac{CP}{PA} = 5$.
Искомое отношение — это $BM : MD$. Обозначим $\frac{BM}{MD}$ через $k$.
Теперь подставим все известные значения в уравнение теоремы:
$$ \frac{1}{3} \cdot k \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 = 1 $$
Решим полученное уравнение относительно $k$:
$$ \frac{5k}{6} = 1 $$
Умножим обе части уравнения на 6:
$$ 5k = 6 $$
Отсюда находим $k$:
$$ k = \frac{6}{5} $$
Следовательно, искомое отношение $BM : MD = 6 : 5$.
Ответ: $6:5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 23.14 расположенного на странице 241 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №23.14 (с. 241), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.