Номер 23.22, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.22. Докажите, что если тетраэдр и равногранный, и ортоцентрический, то он является правильным тетраэдром.

Для доказательства утверждения воспользуемся известными свойствами равногранного и ортоцентрического тетраэдров.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. По условию, он является равногранным. Это означает, что все его четыре грани — конгруэнтные (равные) треугольники. Из этого свойства следует, что противоположные рёбра тетраэдра равны по длине. Для тетраэдра $ABCD$ это означает:
$AB = CD$
$AC = BD$
$AD = BC$

Также по условию, тетраэдр является ортоцентрическим. Это означает, что все четыре его высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на плоскости противоположных граней) пересекаются в одной точке. Критерием (необходимым и достаточным условием) ортоцентричности тетраэдра является равенство сумм квадратов длин его противоположных (скрещивающихся) рёбер. Для тетраэдра $ABCD$ это условие записывается в виде:
$AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2$

Теперь объединим оба условия. Подставим равенства длин противоположных рёбер, следующие из равногранности тетраэдра, в равенство для ортоцентрического тетраэдра:
$AB^2 + (AB)^2 = AC^2 + (AC)^2 = AD^2 + (AD)^2$
Упрощая, получаем:
$2 \cdot AB^2 = 2 \cdot AC^2 = 2 \cdot AD^2$
Разделив все части этого равенства на 2, имеем:
$AB^2 = AC^2 = AD^2$
Поскольку длины рёбер являются положительными величинами, то:
$AB = AC = AD$

Мы доказали, что три ребра, выходящие из одной вершины $A$, равны между собой. Теперь, возвращаясь к свойству равногранности ($AB = CD$, $AC = BD$, $AD = BC$), мы можем заключить, что все шесть рёбер тетраэдра равны друг другу:
$AB = AC = AD = BC = BD = CD$.

Тетраэдр, у которого все шесть рёбер равны по длине, по определению является правильным тетраэдром. Его гранями являются четыре равных равносторонних треугольника.
Таким образом, утверждение, что если тетраэдр равногранный и ортоцентрический, то он является правильным, доказано.

Ответ: Утверждение доказано.