Номер 23.26, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.26. Точки M и N принадлежат соответственно рёбрам AB и AC треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$. Точка F принадлежит отрезку $BA_1$. Известно, что $AM : MB = 1 : 2$, $AN : NC = 4 : 1$, $BF : FA_1 = 3 : 2$. В каком отношении, считая от вершины C, плоскость $MNF$ делит отрезок $CA_1$?

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине $A$ и базисными векторами $\vec{a} = \vec{AA_1}$, $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$.

Выразим радиус-векторы точек $M, N, F$ в этом базисе:

• Точка $M$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AM:MB = 1:2$. Следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{1+2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{b}$.
• Точка $N$ лежит на ребре $AC$ и делит его в отношении $AN:NC = 4:1$. Следовательно, $\vec{AN} = \frac{4}{4+1}\vec{AC} = \frac{4}{5}\vec{c}$.
• Точка $F$ лежит на отрезке $BA_1$ и делит его в отношении $BF:FA_1 = 3:2$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, радиус-вектор точки $F$ из начала координат $A$ равен: $\vec{AF} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AA_1}}{2+3} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{5} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$.

Плоскость $MNF$ задается уравнением $\vec{r} = \vec{AM} + u(\vec{AN} - \vec{AM}) + v(\vec{AF} - \vec{AM})$, где $u$ и $v$ – некоторые действительные числа. Подставим выражения для векторов:

$\vec{r} = \frac{1}{3}\vec{b} + u(\frac{4}{5}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b}) + v(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{b})$

$\vec{r} = \frac{1}{3}\vec{b} + u(\frac{4}{5}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b}) + v(\frac{3}{5}\vec{a} + (\frac{6}{15}-\frac{5}{15})\vec{b})$

$\vec{r} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4u}{5}\vec{c} - \frac{u}{3}\vec{b} + \frac{3v}{5}\vec{a} + \frac{v}{15}\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые по базисным векторам:

$\vec{r} = \frac{3v}{5}\vec{a} + (\frac{1}{3} - \frac{u}{3} + \frac{v}{15})\vec{b} + \frac{4u}{5}\vec{c}$

Пусть $K$ — точка пересечения плоскости $MNF$ и отрезка $CA_1$. Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $CA_1$, её радиус-вектор $\vec{AK}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{AK} = (1-\lambda)\vec{AC} + \lambda\vec{AA_1} = \lambda\vec{a} + (1-\lambda)\vec{c}$

Здесь $\lambda$ — это отношение длины отрезка $CK$ к длине всего отрезка $CA_1$, то есть $\lambda = \frac{CK}{CA_1}$. Искомое отношение $CK:KA_1$ будет равно $\lambda : (1-\lambda)$.

Так как точка $K$ принадлежит плоскости $MNF$, её радиус-вектор должен удовлетворять уравнению плоскости. Приравняем два выражения для радиус-вектора точки $K$:

$\lambda\vec{a} + 0\cdot\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c} = \frac{3v}{5}\vec{a} + (\frac{1}{3} - \frac{u}{3} + \frac{v}{15})\vec{b} + \frac{4u}{5}\vec{c}$

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны, поэтому равенство возможно только если равны коэффициенты при соответствующих векторах. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \lambda = \frac{3v}{5} \\ 0 = \frac{1}{3} - \frac{u}{3} + \frac{v}{15} \\ 1-\lambda = \frac{4u}{5} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v$: $v = \frac{5\lambda}{3}$.

Из третьего уравнения выразим $u$: $u = \frac{5(1-\lambda)}{4}$.

Умножим второе уравнение на 15, чтобы избавиться от знаменателей: $0 = 5 - 5u + v$.

Подставим в него выражения для $u$ и $v$:

$5 - 5\left(\frac{5(1-\lambda)}{4}\right) + \frac{5\lambda}{3} = 0$

Разделим всё уравнение на 5:

$1 - \frac{5(1-\lambda)}{4} + \frac{\lambda}{3} = 0$

Умножим на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$12 - 3 \cdot 5(1-\lambda) + 4\lambda = 0$

$12 - 15(1-\lambda) + 4\lambda = 0$

$12 - 15 + 15\lambda + 4\lambda = 0$

$-3 + 19\lambda = 0$

$19\lambda = 3$

$\lambda = \frac{3}{19}$

Мы нашли значение $\lambda$. Теперь найдем искомое отношение $CK:KA_1$:

$\frac{CK}{KA_1} = \frac{\lambda}{1-\lambda} = \frac{3/19}{1 - 3/19} = \frac{3/19}{16/19} = \frac{3}{16}$.

Таким образом, плоскость $MNF$ делит отрезок $CA_1$ в отношении $3:16$, считая от вершины $C$.

Ответ: $3:16$.