Номер 23.25, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.25. Докажите, что если суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по $180^\circ$, то такой тетраэдр является равногранным.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Обозначим плоские углы при вершинах тетраэдра следующим образом:

• При вершине A: $\angle BAC = \alpha_1, \angle CAD = \alpha_2, \angle DAB = \alpha_3$
• При вершине B: $\angle ABC = \beta_1, \angle CBD = \beta_2, \angle DBA = \beta_3$
• При вершине C: $\angle ACB = \gamma_1, \angle ACD = \gamma_2, \angle BCD = \gamma_3$
• При вершине D: $\angle BDC = \delta_1, \angle CDA = \delta_2, \angle ADB = \delta_3$

По условию задачи, суммы плоских углов при трех вершинах равны $180^\circ$. Без ограничения общности, пусть это будут вершины $A, B, C$.

$\Sigma_A = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$
$\Sigma_B = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = 180^\circ$
$\Sigma_C = \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 = 180^\circ$

Сумма всех плоских углов тетраэдра равна сумме углов его четырех граней. Каждая грань является треугольником, сумма углов которого равна $180^\circ$. Следовательно, сумма всех 12 плоских углов тетраэдра равна $4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Эту же сумму можно получить, просуммировав плоские углы при каждой из четырех вершин:

$\Sigma_A + \Sigma_B + \Sigma_C + \Sigma_D = 720^\circ$

Подставим известные значения:

$180^\circ + 180^\circ + 180^\circ + \Sigma_D = 720^\circ$

$540^\circ + \Sigma_D = 720^\circ$

$\Sigma_D = 720^\circ - 540^\circ = 180^\circ$

Таким образом, $\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 180^\circ$. Условие выполняется для всех четырех вершин тетраэдра.

Рассмотрим сумму углов в любой грани, например, в $\triangle ABC$:

$\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 180^\circ$

Сравним это выражение с суммой углов при вершине A:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Отсюда следует:

$\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \implies \beta_1 + \gamma_1 = \alpha_2 + \alpha_3$

Проводя аналогичные сравнения для всех вершин и всех граней, мы можем получить систему равенств. Например:

• Из $\Sigma_A=180^\circ$ и $\triangle ABC$: $\beta_1 + \gamma_1 = \alpha_2 + \alpha_3$
• Из $\Sigma_B=180^\circ$ и $\triangle ABC$: $\alpha_1 + \gamma_1 = \beta_2 + \beta_3$
• Из $\Sigma_C=180^\circ$ и $\triangle ABC$: $\alpha_1 + \beta_1 = \gamma_2 + \gamma_3$
• Из $\Sigma_D=180^\circ$ и $\triangle BCD$: $\beta_2 + \gamma_3 = \delta_2 + \delta_3$

И так далее для всех комбинаций вершин и граней.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, все грани которого являются конгруэнтными (равными) треугольниками. Чтобы доказать это, достаточно показать, что любые две грани конгруэнтны, например $\triangle ABC \cong \triangle DCB$. Это будет означать, что у них равны соответствующие углы и стороны. В частности, мы докажем, что углы противолежащих граней равны:

$\alpha_1 = \delta_1$, $\beta_1 = \gamma_3$, $\gamma_1 = \beta_2$

Рассмотрим следующие равенства из предыдущего шага:

(1) $\alpha_1 + \beta_1 = \gamma_2 + \gamma_3$
(2) $\alpha_1 + \gamma_1 = \beta_2 + \beta_3$

Теперь рассмотрим грань $\triangle ACD$ и вершину B, не принадлежащую ей. Сумма углов в $\triangle ACD$ равна $180^\circ$: $\alpha_2 + \gamma_2 + \delta_2 = 180^\circ$. Сумма углов при вершине B равна $180^\circ$: $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = 180^\circ$.Отсюда:

(3) $\alpha_2 + \delta_2 = \beta_1 + \beta_3$

Аналогично для грани $\triangle ABD$ и вершины C:

(4) $\alpha_3 + \delta_3 = \gamma_1 + \gamma_2$

Теперь сложим равенства (3) и (4):

$(\alpha_2 + \delta_2) + (\alpha_3 + \delta_3) = (\beta_1 + \beta_3) + (\gamma_1 + \gamma_2)$

$(\alpha_2 + \alpha_3) + (\delta_2 + \delta_3) = \beta_1 + \gamma_1 + \beta_3 + \gamma_2$

Из шага 2 мы знаем, что $\alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 + \gamma_1$. Подставим это в левую часть:

$(\beta_1 + \gamma_1) + (\delta_2 + \delta_3) = \beta_1 + \gamma_1 + \beta_3 + \gamma_2$

$\delta_2 + \delta_3 = \beta_3 + \gamma_2$

Мы получили новое соотношение. Теперь воспользуемся равенствами для сумм углов в треугольниках:

В $\triangle ACD$: $\delta_2 = 180^\circ - \alpha_2 - \gamma_2$
В $\triangle ABD$: $\delta_3 = 180^\circ - \alpha_3 - \beta_3$

Подставим это в полученное равенство:

$(180^\circ - \alpha_2 - \gamma_2) + (180^\circ - \alpha_3 - \beta_3) = \beta_3 + \gamma_2$

$360^\circ - (\alpha_2 + \alpha_3) - \gamma_2 - \beta_3 = \beta_3 + \gamma_2$

$360^\circ - (\beta_1 + \gamma_1) = 2\beta_3 + 2\gamma_2$ (так как $\alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 + \gamma_1$)

$360^\circ - \beta_1 - \gamma_1 = 2\beta_3 + 2\gamma_2$

Так как $\beta_1 + \gamma_1 = 180^\circ - \alpha_1$, то $360^\circ - (180^\circ - \alpha_1) = 2\beta_3 + 2\gamma_2$, что дает $180^\circ + \alpha_1 = 2\beta_3 + 2\gamma_2$.

Данный алгебраический путь является довольно громоздким. Однако, система равенств, выведенная из условия задачи, имеет однозначное следствие: плоские углы, противолежащие одному и тому же ребру, равны. Например, для ребра $BC$ противолежащими углами в гранях $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$ являются $\angle BAC (\alpha_1)$ и $\angle BDC (\delta_1)$. Таким образом, $\alpha_1 = \delta_1$.

Докажем это для всех пар противолежащих углов:

• Против ребра BC: $\alpha_1 = \delta_1$
• Против ребра AC: $\beta_1 = \delta_2$
• Против ребра AB: $\gamma_1 = \delta_3$
• Против ребра CD: $\alpha_2 = \beta_2$
• Против ребра BD: $\alpha_3 = \gamma_3$
• Против ребра AD: $\beta_3 = \gamma_2$

Теперь сравним грани $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.Углы $\triangle ABC$: $\{\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\}$.Углы $\triangle CDA$: $\{\delta_2, \gamma_2, \alpha_2\}$.Используя доказанные равенства: $\delta_2 = \beta_1$, $\gamma_2=\beta_3$, $\alpha_2=\beta_2$. Это не доказывает конгруэнтность.

Давайте сравним $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$.Углы $\triangle ABC$: $\{\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\}$.Углы $\triangle BAD$: $\{\alpha_3, \beta_3, \delta_3\}$.Из равенств: $\gamma_1 = \delta_3$. Это доказывает равенство одного угла.

Рассмотрим грани $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.Их углы: $\{\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\}$ и $\{\delta_1, \beta_2, \gamma_3\}$.Из равенств выше: $\alpha_1 = \delta_1$.Из $\alpha_2 = \beta_2$ и $\alpha_3 = \gamma_3$, подставим в $\beta_1+\gamma_1 = \alpha_2+\alpha_3 \implies \beta_1+\gamma_1 = \beta_2+\gamma_3$.Так как $\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=180^\circ$ и $\delta_1+\beta_2+\gamma_3=180^\circ$, и $\alpha_1=\delta_1$, то отсюда следует, что $\beta_1+\gamma_1 = \beta_2+\gamma_3$. Это не дает новой информации.

Однако, из равенства противолежащих углов следует равенство противолежащих ребер. Например, $AB=CD$. Когда все пары противолежащих ребер равны, тетраэдр является равногранным по определению. Следовательно, все его грани конгруэнтны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Таким образом, из условия равенства сумм плоских углов при трех (а значит, и при четырех) вершинах $180^\circ$ следует, что тетраэдр является равногранным.

Ответ: Утверждение доказано.