Номер 23.30, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.30. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = c$, $BC = a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите расстояние между основаниями высот треугольника, проведённых из вершин $A$ и $C$.

Пусть $AH_a$ и $CH_c$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $C$ соответственно. Тогда $H_a$ и $H_c$ — это основания этих высот. Так как угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, основания высот будут лежать на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ за вершину $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aB$. Угол $\angle ABH_a$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому его величина составляет:$\angle ABH_a = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.В этом треугольнике гипотенуза $AB = c$. Катет $BH_a$ можно найти через косинус угла $\angle ABH_a$:$BH_a = AB \cdot \cos(\angle ABH_a) = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CH_cB$. Угол $\angle CBH_c$ также является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle CBH_c = 60^\circ$.В этом треугольнике гипотенуза $BC = a$. Катет $BH_c$ можно найти через косинус угла $\angle CBH_c$:$BH_c = BC \cdot \cos(\angle CBH_c) = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь нам нужно найти расстояние между точками $H_a$ и $H_c$, то есть длину отрезка $H_aH_c$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle H_aBH_c$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($BH_a = \frac{c}{2}$ и $BH_c = \frac{a}{2}$) и угол между ними. Угол $\angle H_aBH_c$ является вертикальным углу $\angle ABC$, следовательно, $\angle H_aBH_c = \angle ABC = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle H_aBH_c$, чтобы найти длину стороны $H_aH_c$:$(H_aH_c)^2 = (BH_a)^2 + (BH_c)^2 - 2 \cdot BH_a \cdot BH_c \cdot \cos(\angle H_aBH_c)$$(H_aH_c)^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение в формулу:$(H_aH_c)^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{ac}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$(H_aH_c)^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{ac}{4}$$(H_aH_c)^2 = \frac{a^2 + c^2 + ac}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем искомое расстояние:$H_aH_c = \sqrt{\frac{a^2 + c^2 + ac}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + c^2 + ac}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2+ac}$.