Номер 23.29, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.29. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. В каком отношении, считая от вершины $C$, центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису $CD$?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе $CD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $I$ — центр вписанной окружности, отрезок $AI$ является биссектрисой угла $CAD$ (то есть угла $A$ треугольника $ABC$).

Применим свойство биссектрисы угла к треугольнику $ACD$. Биссектриса $AI$ делит противолежащую сторону $CD$ на отрезки $CI$ и $ID$ в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника $ACD$, то есть $AC$ и $AD$: $$ \frac{CI}{ID} = \frac{AC}{AD} $$

По условию, длина стороны $AC = b$. Теперь найдем длину отрезка $AD$.

Отрезок $CD$ является биссектрисой угла $C$ в треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы угла треугольника $ABC$, она делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $BC$: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $$

Точка $D$ лежит на стороне $AB$, поэтому $AD + DB = AB = c$.

Из пропорции $\frac{AD}{DB} = \frac{b}{a}$ выразим $DB$ через $AD$: $DB = AD \cdot \frac{a}{b}$.

Подставим это выражение в равенство $AD + DB = c$: $$ AD + AD \cdot \frac{a}{b} = c $$ Вынесем $AD$ за скобки: $$ AD \left(1 + \frac{a}{b}\right) = c $$ $$ AD \left(\frac{b+a}{b}\right) = c $$ Отсюда находим $AD$: $$ AD = \frac{bc}{a+b} $$

Теперь вернемся к искомому отношению. Подставим найденное значение $AD$ и известное значение $AC=b$ в формулу для отношения $\frac{CI}{ID}$: $$ \frac{CI}{ID} = \frac{AC}{AD} = \frac{b}{\frac{bc}{a+b}} $$

Упростим полученное выражение: $$ \frac{CI}{ID} = b \cdot \frac{a+b}{bc} = \frac{a+b}{c} $$

Таким образом, центр вписанной окружности делит биссектрису $CD$, считая от вершины $C$, в отношении $\frac{a+b}{c}$.

Ответ: $\frac{a+b}{c}$.