Страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.1. Площадь боковой поверхности правильной усеченной шестиугольной пирамиды равна $540 \text{ см}^2$. Найдите стороны оснований пирамиды, если они относятся как $2 : 3$, а апофема равна $9 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема усечённой пирамиды.

Поскольку пирамида является правильной шестиугольной, её основания — это правильные шестиугольники. Пусть стороны меньшего и большего оснований равны $a_1$ и $a_2$ соответственно. Тогда их периметры равны $P_1 = 6a_1$ и $P_2 = 6a_2$.

Подставим выражения для периметров в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2}(6a_1 + 6a_2)h = 3(a_1 + a_2)h$.

Из условия задачи известно, что стороны оснований относятся как $2:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать: $a_1 = 2x$ и $a_2 = 3x$. Также даны значения площади боковой поверхности $S_{бок} = 540 \text{ см}^2$ и апофемы $h = 9 \text{ см}$. Подставим все известные данные в формулу:$540 = 3(2x + 3x) \cdot 9$

Решим полученное уравнение относительно $x$:$540 = 27(5x)$$540 = 135x$$x = \frac{540}{135}$$x = 4$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдём длины сторон оснований:Сторона меньшего основания: $a_1 = 2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$.Сторона большего основания: $a_2 = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}$.

Ответ: стороны оснований пирамиды равны 8 см и 12 см.

22.2. Найдите апофему правильной усечённой пятиугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 10 см, а площадь боковой поверхности — $280 \text{ см}^2$.

22.2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot h_a$,

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Так как пирамида правильная пятиугольная, её основаниями являются правильные пятиугольники. Найдём их периметры.

Сторона большего основания $a_1 = 10$ см. Периметр большего основания $P_1$ равен:

$P_1 = 5 \cdot a_1 = 5 \cdot 10 = 50$ см.

Сторона меньшего основания $a_2 = 6$ см. Периметр меньшего основания $P_2$ равен:

$P_2 = 5 \cdot a_2 = 5 \cdot 6 = 30$ см.

По условию, площадь боковой поверхности $S_{бок} = 280$ см². Подставим известные значения в формулу и найдём апофему $h_a$:

$280 = \frac{1}{2} (50 + 30) \cdot h_a$

$280 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot h_a$

$280 = 40 \cdot h_a$

$h_a = \frac{280}{40}$

$h_a = 7$ см.

Ответ: 7 см.

22.3. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $12 \text{ см}$ и $18 \text{ см}$, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Основаниями пирамиды являются правильные треугольники со сторонами $a_1 = 18$ см и $a_2 = 12$ см. Найдем их периметры:
Периметр большего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.
Периметр меньшего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Для нахождения апофемы $h_a$ воспользуемся двугранным углом при ребре большего основания. Этот угол образован боковой гранью и плоскостью большего основания. Его линейная мера — это угол между апофемой боковой грани $h_a$ и проекцией этой апофемы на плоскость большего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$ (гипотенуза), высотой усеченной пирамиды $H$ (катет) и отрезком, равным разности апофем оснований $r_1 - r_2$ (второй катет). Угол между гипотенузой $h_a$ и катетом $(r_1 - r_2)$ равен данному двугранному углу, то есть $45^\circ$.

Найдем апофемы оснований (радиусы вписанных в них окружностей). Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Апофема большего основания: $r_1 = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.
Апофема меньшего основания: $r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Разность апофем оснований составляет: $r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см. Этот отрезок является катетом в нашем прямоугольном треугольнике, прилежащим к углу $45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника находим апофему $h_a$:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$
Отсюда $h_a = \frac{r_1 - r_2}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(54 + 36) \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{6} = 45\sqrt{6}$ см².

Ответ: $45\sqrt{6}$ см².

22.4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 9 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема (высота боковой грани).

Дано, что усечённая пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основаниями являются квадраты. Стороны оснований равны $a_1 = 9$ см и $a_2 = 6$ см.

Найдём периметры оснований:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 9 = 36 \text{ см}$

$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$

Для нахождения апофемы $h$ рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проведённое через апофемы противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются отрезки, соединяющие центры оснований с серединами сторон, их длины равны половинам сторон квадратов-оснований: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см и $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Боковой стороной этой трапеции является апофема $h$.

Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.

Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это апофема $h$, один из катетов равен разности радиусов вписанных в основания окружностей $r_1 - r_2 = 4,5 - 3 = 1,5$ см, а прилежащий к этому катету угол равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём апофему $h$:

$\cos(60^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h}$

$h = \frac{r_1 - r_2}{\cos(60^\circ)} = \frac{1,5}{1/2} = 1,5 \cdot 2 = 3 \text{ см.}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(36 + 24) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90 \text{ см}^2$.

Ответ: $90 \text{ см}^2$.

22.5. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 10 см, а высота пирамиды — 4 см. Найдите:

1) диагональ усечённой пирамиды;

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани;

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

В задаче дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Это означает, что её основаниями являются два квадрата, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Обозначим данные: сторона нижнего основания $a_1 = 10 \text{ см}$, сторона верхнего основания $a_2 = 6 \text{ см}$, высота пирамиды $h = 4 \text{ см}$.

Диагональ усечённой пирамиды $D$ соединяет вершину одного основания с противолежащей вершиной другого основания. Для её нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и проекция диагонали $D$ на плоскость нижнего основания, а гипотенузой — сама диагональ $D$.
Сначала найдём диагонали квадратных оснований:
Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}$.
Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.
Проекция диагонали пирамиды на плоскость нижнего основания (обозначим её $p$) соединяет вершину нижнего основания с проекцией противолежащей вершины верхнего основания. Так как пирамида правильная, её высота соединяет центры оснований. Длина этой проекции равна сумме отрезков от центра нижнего основания до его вершины ($\frac{d_1}{2}$) и от центра до проекции вершины верхнего основания ($\frac{d_2}{2}$):
$p = \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}$.
Теперь по теореме Пифагора найдём диагональ пирамиды $D$:
$D^2 = h^2 + p^2$
$D^2 = 4^2 + (8\sqrt{2})^2 = 16 + 64 \cdot 2 = 16 + 128 = 144$
$D = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $12 \text{ см}$.

Данное сечение является диагональным сечением пирамиды и представляет собой равнобедренную трапецию.
Основаниями этой трапеции служат диагонали оснований пирамиды: $d_1 = 10\sqrt{2} \text{ см}$ и $d_2 = 6\sqrt{2} \text{ см}$.
Высота этой трапеции равна высоте усечённой пирамиды: $h = 4 \text{ см}$.
Площадь трапеции $S_{\text{сеч}}$ вычисляется по формуле:
$S_{\text{сеч}} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$
$S_{\text{сеч}} = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2} \cdot 4 = 32\sqrt{2}\;\text{см}^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}\;\text{см}^2$.

Боковая поверхность правильной усечённой четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобедренных трапеций (боковых граней).
Для нахождения площади одной такой трапеции нам нужна её высота, которая называется апофемой усечённой пирамиды ($h_s$).
Найдём апофему, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это апофема $h_s$, один катет — это высота пирамиды $h$, а второй катет — это отрезок, длина которого равна $\frac{a_1 - a_2}{2}$.
Длина второго катета: $\frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$h_s^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$
$h_s^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
$h_s = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \text{ см}$.
Теперь найдём площадь одной боковой грани $S_{\text{грани}}$:
$S_{\text{грани}} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_s = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{16}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 8 \cdot 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\;\text{см}^2$.
Площадь всей боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ равна сумме площадей четырёх граней:
$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5}\;\text{см}^2$.

Ответ: $64\sqrt{5}\;\text{см}^2$.

22.6. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 15 см и 27 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

1) высоту пирамиды;

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. По условию, $a_1 = 15$ см и $a_2 = 27$ см. Так как пирамида правильная, её основания — квадраты.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим диагональное сечение пирамиды. Это равнобокая трапеция, основаниями которой служат диагонали квадратов $d_1$ и $d_2$.

$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ см.
$d_2 = a_2\sqrt{2} = 27\sqrt{2}$ см.

Боковое ребро $l$, высота пирамиды $h$ и проекция бокового ребра на плоскость большего основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией (плоскостью основания) равен $30^\circ$ по условию.

Катет этого треугольника, лежащий на плоскости большего основания, равен полуразности диагоналей оснований:

$p = \frac{d_2 - d_1}{2} = \frac{27\sqrt{2} - 15\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Высота $h$ является вторым катетом этого прямоугольного треугольника. Её можно найти через тангенс данного угла:

$h = p \cdot \tan(30^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

2) площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдём периметры оснований:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 15 = 60$ см.
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 27 = 108$ см.

Теперь найдём апофему $l_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l_a$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на плоскости большего основания, соединяющим проекции концов апофемы (в качестве катета). Длина этого отрезка равна полуразности сторон оснований:

$q = \frac{a_2 - a_1}{2} = \frac{27 - 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора:

$l_a^2 = h^2 + q^2$

$l_a = \sqrt{h^2 + q^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 6^2} = \sqrt{24 + 36} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(60 + 108) \cdot 2\sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot 168 \cdot 2\sqrt{15} = 168\sqrt{15}$ см².

Ответ: $168\sqrt{15}$ см².

22.7. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 24 см и 30 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на рассмотрении сечения усеченной пирамиды, проходящего через боковое ребро и высоту.

Пусть даны стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды $a_1 = 30$ см и $a_2 = 24$ см, а также боковое ребро $l = 4$ см. Необходимо найти высоту пирамиды $h$.

Высота $h$ в правильной усеченной пирамиде соединяет центры ее оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота $h$, боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость большего основания. Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро $l$. Одним катетом является высота $h$. Второй катет равен разности расстояний от центров оснований до вершин, то есть разности радиусов описанных окружностей оснований $(R_1 - R_2)$.

Согласно теореме Пифагора, справедливо соотношение:$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$Из этой формулы выразим высоту:$h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Найдем радиусы описанных окружностей для оснований. Формула радиуса $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ такова: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Для большего основания со стороной $a_1 = 30$ см радиус равен:$R_1 = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Для меньшего основания со стороной $a_2 = 24$ см радиус равен:$R_2 = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим разность радиусов:$R_1 - R_2 = 10\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Подставим все известные значения в формулу для высоты:$h = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

22.8. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 12 см, а площадь боковой поверхности — $54 \text{ см}^2$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $S_{бок}$ — её площадь боковой поверхности. По условию задачи имеем: $a_1 = 12$ см, $a_2 = 6$ см, $S_{бок} = 54$ см².

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани). Основаниями являются правильные треугольники, поэтому их периметры равны:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 12 = 36$ см.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Теперь из формулы площади боковой поверхности выразим и найдем апофему $l$:
$54 = \frac{1}{2}(36 + 18) \cdot l$
$54 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot l$
$l = \frac{54}{27} = 2$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$), а гипотенузой — апофема $l$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Найдем радиусы для оснований:
$r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
$r_2 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Подставим найденные значения $l$, $r_1$ и $r_2$ в соотношение, полученное из теоремы Пифагора, и найдем высоту $H$:
$2^2 = H^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2$
$4 = H^2 + (\sqrt{3})^2$
$4 = H^2 + 3$
$H^2 = 4 - 3 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

22.9. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны 8 см и 5 см, а высота пирамиды — 3 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями пирамиды являются правильные треугольники. Пусть $ABC$ — большее основание, а $A_1B_1C_1$ — меньшее.По условию задачи, сторона большего основания $a = AB = BC = AC = 8$ см, сторона меньшего основания $b = A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 = 5$ см. Высота усеченной пирамиды $h = 3$ см.

Требуется найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$. Это сечение представляет собой треугольник $ABC_1$.

Так как пирамида правильная, боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. В частности, трапеции $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равны. Следовательно, их диагонали $AC_1$ и $BC_1$ также равны. Это означает, что треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Площадь треугольника $ABC_1$ можно найти по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M$, где $C_1M$ — высота треугольника, проведенная из вершины $C_1$ к основанию $AB$, а $M$ — середина отрезка $AB$.

Для нахождения длины высоты $C_1M$ воспользуемся методом проекций. Проведем из точки $C_1$ перпендикуляр $C_1P$ на плоскость основания $ABC$. Длина этого перпендикуляра равна высоте пирамиды, то есть $C_1P = h = 3$ см. Треугольник $C_1PM$ является прямоугольным с прямым углом $P$. По теореме Пифагора, $C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2$. Нам нужно найти длину катета $PM$.

Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Так как пирамида правильная, отрезок $O_1O$ является ее высотой, и точка $O$ — проекция точки $O_1$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ (проекция точки $C_1$) будет лежать на луче $OC$, так как треугольники оснований подобны и одинаково ориентированы.

Рассмотрим основание $ABC$. $CM$ — медиана (а также высота и биссектриса) правильного треугольника $ABC$. Ее длина вычисляется по формуле:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Центр $O$ треугольника $ABC$ делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины $C$. Таким образом,$OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.$OC = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Аналогично для меньшего основания $A_1B_1C_1$ (со стороной $b=5$ см) и его центра $O_1$:Радиус описанной окружности $O_1C_1 = R_1 = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Проекция отрезка $O_1C_1$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $OP$. Его длина равна длине $O_1C_1$:$OP = O_1C_1 = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.Точки $M, O, P$ лежат на одной прямой (прямой $MC$). Расстояние $PM$ равно сумме расстояний $PO$ и $OM$:$PM = PO + OM = \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти высоту сечения $C_1M$ из прямоугольного треугольника $C_1PM$:$C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$.Отсюда $C_1M = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $ABC_1$:$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.