Страница 230 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Опишите, какой многогранник называют усечённой пирамидой.

2. Опишите элементы усечённой пирамиды.

3. Какую усечённую пирамиду называют правильной?

4. Что называют апофемой правильной усечённой пирамиды?

5. Что называют площадью боковой поверхности усечённой пирамиды?

6. Чему равна площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды?

Усечённая пирамида — это многогранник, который образуется при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной, а оставшаяся часть между основанием и секущей плоскостью и является усечённой пирамидой. Усечённая пирамида имеет два основания — нижнее (основание исходной пирамиды) и верхнее (многоугольник, полученный в сечении). Основания являются подобными многоугольниками, а боковые грани усечённой пирамиды — трапециями.

Ответ: Усечённой пирамидой называют часть пирамиды, заключённую между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основными элементами усечённой пирамиды являются:
• Основания — два многоугольника (нижнее и верхнее), лежащие в параллельных плоскостях. Они подобны друг другу.
• Боковые грани — трапеции, соединяющие соответственные стороны оснований.
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие соответственные вершины оснований.
• Вершины — точки, являющиеся вершинами оснований.
• Высота — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой.

Ответ: Элементы усечённой пирамиды — это два основания (подобные многоугольники), боковые грани (трапеции), боковые рёбра, вершины и высота.

Усечённую пирамиду называют правильной, если она получена из правильной пирамиды. Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. Соответственно, правильная усечённая пирамида обладает следующими свойствами:
• Основаниями являются правильные подобные многоугольники.
• Прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям оснований (её отрезок между основаниями — высота пирамиды).
• Все боковые грани — равные между собой равнобедренные трапеции.
• Все боковые рёбра имеют одинаковую длину.

Ответ: Правильной называют усечённую пирамиду, полученную сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

В правильной усечённой пирамиде все боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. Апофемой правильной усечённой пирамиды называют высоту любой из её боковых граней. Так как все боковые грани равны, то и их высоты (апофемы) также равны между собой.

Ответ: Апофемой правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.

Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из её боковых граней, которые являются трапециями. Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называют сумму площадей всех её боковых граней.

Ответ: Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды — это сумма площадей всех её боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему. Пусть $P_1$ — периметр нижнего основания, $P_2$ — периметр верхнего основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани). Боковая поверхность состоит из $n$ одинаковых равнобедренных трапеций. Площадь одной такой трапеции с основаниями (рёбрами оснований пирамиды) $a_1$ и $a_2$ равна $\frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$. Тогда площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех $n$ трапеций:
$S_{бок} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l = \frac{n \cdot a_1 + n \cdot a_2}{2} \cdot l$.
Так как периметр нижнего основания $P_1 = n \cdot a_1$ и периметр верхнего основания $P_2 = n \cdot a_2$, то формула принимает вид:
$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему и вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема.