Номер 16.23, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.23. В тетраэдре $DABC$ углы $ADB$, $BDC$ и $CDA$ прямые. Площади граней $ADB$, $BDC$, $CDA$ и $ABC$ соответственно равны $S_1$, $S_2$, $S_3$ и $S$. Докажите, что $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2$.

По условию задачи, в тетраэдре $DABC$ углы $\angle ADB$, $\angle BDC$ и $\angle CDA$ являются прямыми. Это означает, что ребра $DA$, $DB$ и $DC$, выходящие из вершины $D$, попарно перпендикулярны. Для решения задачи удобно ввести прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль этих ребер. Пусть длины ребер равны $DA = a$, $DB = b$ и $DC = c$. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: $D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ и $C(0, 0, c)$.

Грани $ADB$, $BDC$ и $CDA$ являются прямоугольными треугольниками. Их площади $S_1$, $S_2$ и $S_3$ выражаются через длины катетов:$S_1 = \frac{1}{2}ab$, $S_2 = \frac{1}{2}bc$, $S_3 = \frac{1}{2}ca$.Найдем сумму квадратов этих площадей, которая является левой частью доказываемого равенства:$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = (\frac{1}{2}ab)^2 + (\frac{1}{2}bc)^2 + (\frac{1}{2}ca)^2 = \frac{1}{4}(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$.

Теперь найдем площадь $S$ грани $ABC$. Для этого воспользуемся методом векторной алгебры. Площадь треугольника $ABC$ равна половине модуля векторного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.Найдем координаты этих векторов:$\vec{AB} = B - A = (0-a, b-0, 0-0) = (-a, b, 0)$.$\vec{AC} = C - A = (0-a, 0-0, c-0) = (-a, 0, c)$.

Вычислим векторное произведение:$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = \mathbf{i}(bc-0) - \mathbf{j}(-ac-0) + \mathbf{k}(0-(-ab)) = (bc, ac, ab)$.Модуль этого вектора равен $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}$.

Следовательно, площадь $S$ треугольника $ABC$ равна:$S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$.Возведем это выражение в квадрат, чтобы получить правую часть доказываемого равенства:$S^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}\right)^2 = \frac{1}{4}(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$.

Сравнивая полученные выражения для $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$ и $S^2$, мы видим, что они идентичны. Таким образом, равенство $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2$ доказано.

Ответ: Равенство $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2$ доказано.