Номер 16.13, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.13. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$, треугольник $A_2B_2C_2$ — проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, площадь его проекции $A_1B_1C_1$ как $S_{A_1B_1C_1}$ и площадь проекции $A_2B_2C_2$ как $S_{A_2B_2C_2}$. Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По определению, угол между двумя плоскостями находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, следовательно, $\cos(\phi) \ge 0$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $\phi$. Таким образом, их площади связаны соотношением:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$

Треугольник $A_2B_2C_2$ является проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Треугольник $A_1B_1C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому угол между плоскостью, в которой он лежит (плоскость $\alpha$), и плоскостью проекции (плоскость $ABC$) также равен $\phi$. Следовательно, их площади связаны аналогичным соотношением:

$S_{A_2B_2C_2} = S_{A_1B_1C_1} \cdot \cos(\phi)$

Теперь мы можем выразить $S_{A_2B_2C_2}$ через $S_{ABC}$, подставив первое выражение во второе:

$S_{A_2B_2C_2} = (S_{ABC} \cdot \cos(\phi)) \cdot \cos(\phi) = S_{ABC} \cdot \cos^2(\phi)$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$:

$S_{ABC} = 2 \cdot S_{A_2B_2C_2}$

Подставим это условие в полученную нами формулу, связывающую площади:

$S_{ABC} = 2 \cdot (S_{ABC} \cdot \cos^2(\phi))$

Поскольку площадь треугольника $ABC$ не равна нулю ($S_{ABC} > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $S_{ABC}$:

$1 = 2 \cos^2(\phi)$

Отсюда выразим $\cos^2(\phi)$:

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}$

Так как $\phi$ — угол между плоскостями ($0^\circ \le \phi \le 90^\circ$), его косинус неотрицателен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$\cos(\phi) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.

$\phi = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.