Номер 16.9, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.9. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите площадь проекции данной трапеции на плоскость $\alpha$, если угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти площадь самой равнобокой трапеции, а затем, зная угол между плоскостями, вычислить площадь ее проекции.

1. Найдем площадь равнобокой трапеции.

Дано: основания трапеции $a = 10$ см и $b = 18$ см, боковая сторона $c = 8$ см.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ нам необходимо найти ее высоту $h$. В равнобокой трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, можно найти по формуле: $x = \frac{b-a}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($c=8$ см), один катет — это отрезок $x=4$ см, а второй катет — это высота трапеции $h$. По теореме Пифагора: $h^2 = c^2 - x^2$ $h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$ $h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции ($S$): $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+18}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь проекции трапеции.

Площадь проекции многоугольника ($S_{пр}$) на плоскость связана с площадью самого многоугольника ($S$) и углом ($\varphi$) между их плоскостями по формуле: $S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$

По условию, угол $\varphi = 30^\circ$. Найдем косинус этого угла: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь проекции: $S_{пр} = 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{56 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{56 \cdot 3}{2} = 28 \cdot 3 = 84$ см².

Ответ: 84 см².