Страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.9. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите площадь проекции данной трапеции на плоскость $\alpha$, если угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти площадь самой равнобокой трапеции, а затем, зная угол между плоскостями, вычислить площадь ее проекции.

1. Найдем площадь равнобокой трапеции.

Дано: основания трапеции $a = 10$ см и $b = 18$ см, боковая сторона $c = 8$ см.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ нам необходимо найти ее высоту $h$. В равнобокой трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, можно найти по формуле: $x = \frac{b-a}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($c=8$ см), один катет — это отрезок $x=4$ см, а второй катет — это высота трапеции $h$. По теореме Пифагора: $h^2 = c^2 - x^2$ $h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$ $h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции ($S$): $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+18}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь проекции трапеции.

Площадь проекции многоугольника ($S_{пр}$) на плоскость связана с площадью самого многоугольника ($S$) и углом ($\varphi$) между их плоскостями по формуле: $S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$

По условию, угол $\varphi = 30^\circ$. Найдем косинус этого угла: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь проекции: $S_{пр} = 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{56 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{56 \cdot 3}{2} = 28 \cdot 3 = 84$ см².

Ответ: 84 см².

16.10. Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 см и 12 см, проведена плоскость $\alpha$, образующая с плоскостью ромба угол $30^\circ$. Найдите площадь проекции данного ромба на плоскость $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость ($S_{пр}$) связана с площадью самого многоугольника ($S$) и углом ($\alpha$) между их плоскостями следующим соотношением:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Для решения задачи необходимо сначала найти площадь ромба, а затем, используя данный угол, вычислить площадь его проекции.

1. Вычисление площади ромба

Площадь ромба можно найти по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

В условии даны длины диагоналей: $d_1 = 6$ см и $d_2 = 12$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$

2. Вычисление площади проекции

Угол между плоскостью ромба и плоскостью $\alpha$ по условию равен $30°$. Теперь можно рассчитать площадь проекции, используя найденную площадь ромба и данный угол:

$S_{пр} = S \cdot \cos(30°)$

Зная, что значение косинуса 30 градусов равно $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{пр} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^2$.

16.11. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 12 см, а стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны 10 см, 10 см и 12 см. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Угол $\phi$ между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его проекции $A_1B_1C_1$ связан с их площадями следующим соотношением:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$

Отсюда мы можем выразить косинус искомого угла:

$\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

Чтобы найти угол, нам необходимо вычислить площади обоих треугольников.

1. Вычисление площади равностороннего треугольника $ABC$

Треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a = 12$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение стороны:

$S_{ABC} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Вычисление площади треугольника $A_1B_1C_1$

Треугольник $A_1B_1C_1$ — равнобедренный со сторонами 10 см, 10 см и основанием 12 см. Для нахождения его площади проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и делит основание на два равных отрезка по $12 / 2 = 6$ см.

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты):

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1B_1C_1$:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Нахождение угла между плоскостями

Теперь, зная площади обоих треугольников, мы можем найти косинус угла $\phi$ между их плоскостями:

$\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{48}{36\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 12:

$\cos(\phi) = \frac{4}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\phi) = \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$.

16.12. Сторона правильного шестиугольника равна 2 см, а площадь его проекции — 9 $\text{см}^2$. Найдите угол между плоскостью данного шестиугольника и плоскостью его проекции.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей площадь плоской фигуры и площадь ее ортогональной проекции. Формула имеет вид: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S_{пр}$ — площадь проекции, $S$ — площадь исходной фигуры, а $\alpha$ — искомый угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Сначала найдем площадь правильного шестиугольника ($S_{шест}$). Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника. По условию, сторона шестиугольника $a = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим в формулу значение стороны $a = 2$ см:

$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная площадь шестиугольника и площадь его проекции, мы можем найти угол $\alpha$. Из основной формулы выразим $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S_{шест}}$

По условию задачи, площадь проекции $S_{пр} = 9$ см². Подставим известные значения в формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{9}{6\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение. Сократим дробь на 3:

$\cos(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^{\circ}$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$.

16.13. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$, треугольник $A_2B_2C_2$ — проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, площадь его проекции $A_1B_1C_1$ как $S_{A_1B_1C_1}$ и площадь проекции $A_2B_2C_2$ как $S_{A_2B_2C_2}$. Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По определению, угол между двумя плоскостями находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, следовательно, $\cos(\phi) \ge 0$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $\phi$. Таким образом, их площади связаны соотношением:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$

Треугольник $A_2B_2C_2$ является проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Треугольник $A_1B_1C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому угол между плоскостью, в которой он лежит (плоскость $\alpha$), и плоскостью проекции (плоскость $ABC$) также равен $\phi$. Следовательно, их площади связаны аналогичным соотношением:

$S_{A_2B_2C_2} = S_{A_1B_1C_1} \cdot \cos(\phi)$

Теперь мы можем выразить $S_{A_2B_2C_2}$ через $S_{ABC}$, подставив первое выражение во второе:

$S_{A_2B_2C_2} = (S_{ABC} \cdot \cos(\phi)) \cdot \cos(\phi) = S_{ABC} \cdot \cos^2(\phi)$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$:

$S_{ABC} = 2 \cdot S_{A_2B_2C_2}$

Подставим это условие в полученную нами формулу, связывающую площади:

$S_{ABC} = 2 \cdot (S_{ABC} \cdot \cos^2(\phi))$

Поскольку площадь треугольника $ABC$ не равна нулю ($S_{ABC} > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $S_{ABC}$:

$1 = 2 \cos^2(\phi)$

Отсюда выразим $\cos^2(\phi)$:

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}$

Так как $\phi$ — угол между плоскостями ($0^\circ \le \phi \le 90^\circ$), его косинус неотрицателен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$\cos(\phi) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.

$\phi = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

16.14. Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции равен $60^\circ$. Найдите площадь данного многоугольника, если сумма площадей этого многоугольника и его проекции равна $30\text{ см}^2$.

16.14.

Пусть $S$ — искомая площадь многоугольника, а $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции. Угол $\alpha$ между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции, по условию, равен $60^\circ$.

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость вычисляется по формуле:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

В нашем случае $\alpha = 60^\circ$, а значение косинуса этого угла составляет $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Подставив это значение в формулу, получим связь между площадью многоугольника и площадью его проекции:
$S_{пр} = S \cdot \frac{1}{2} = \frac{S}{2}$

Также из условия задачи известно, что сумма площадей многоугольника и его проекции равна 30 см²:
$S + S_{пр} = 30$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражение для $S_{пр}$ во второе равенство:
$S + \frac{S}{2} = 30$

Решим это уравнение относительно $S$:
$\frac{2S + S}{2} = 30$
$\frac{3S}{2} = 30$
$3S = 30 \cdot 2$
$3S = 60$
$S = \frac{60}{3}$
$S = 20$

Следовательно, площадь данного многоугольника равна 20 см².

Ответ: 20 см².

16.15. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и образующей угол $\alpha$ с плоскостью $ABC$.

Пусть секущая плоскость проходит через ребро $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и образует угол $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$. Обозначим эту секущую плоскость $\beta$.

Поскольку ребро $AD$ параллельно грани $BCC_1B_1$, секущая плоскость $\beta$ пересечет эту грань по прямой, параллельной $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребра $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ADLK$.

Определим вид этого сечения. Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AK$. Таким образом, угол $\angle DAK = 90^\circ$. Это означает, что сечение $ADLK$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $ADLK$ вычисляется по формуле $S = AD \cdot AK$. По условию, длина ребра куба равна $a$, поэтому $AD = a$. Нам осталось найти длину стороны $AK$.

Угол между секущей плоскостью $ADLK$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$. В плоскости основания $ABC$ проведем перпендикуляр к $AD$ — это ребро $AB$. В плоскости сечения $ADLK$ к $AD$ перпендикулярна сторона $AK$ (как было доказано ранее). Следовательно, линейный угол двугранного угла равен углу между этими прямыми: $\angle BAK = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и, следовательно, перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, треугольник $ABK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABK = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $AB = a$, а прилежащий к нему острый угол $\angle BAK = \alpha$. Длину гипотенузы $AK$ можно найти из тригонометрического соотношения:
$\cos(\alpha) = \frac{AB}{AK}$
Отсюда:
$AK = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:
$S = AD \cdot AK = a \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a^2}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{a^2}{\cos(\alpha)}$

16.16. Основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом. Точка $M$ — середина ребра $AB$, точка $K$ — середина ребра $AD$. Через прямую $MK$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $\alpha$ и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь получившегося сечения параллелепипеда равна $S$. Найдите отрезок $AB$.

Пусть сторона основания $ABCD$ (квадрата) равна $a$. То есть, $AB = a$. Мы ищем значение $a$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Тогда вершины основания имеют координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$ и $C(a,a,0)$.

Точка $M$ — середина ребра $AB$, ее координаты $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$.
Точка $K$ — середина ребра $AD$, ее координаты $K(0, \frac{a}{2}, 0)$.

Через прямую $MK$ проведена плоскость (назовем ее $\beta$), которая образует с плоскостью основания $ABC$ (плоскость $z=0$) угол $\alpha$. По условию, эта плоскость пересекает три боковых ребра. Прямая $MK$ лежит в плоскости основания. Плоскость $\beta$ может быть наклонена "вверх" в сторону угла $C$ или "вниз".

Если плоскость наклонена так, что часть над треугольником $AMK$ поднимается (имеет положительные аппликаты), то часть над остальной частью квадрата опускается (имеет отрицательные аппликаты), и сечение не пересечет боковые ребра в их пределах. Следовательно, плоскость наклонена так, что часть над углом $C$ поднимается. В этом случае плоскость пересекает боковые ребра $BB_1$, $DD_1$ и $CC_1$.

Получившееся сечение является пятиугольником, вершины которого — это точки $M$, $K$ и точки пересечения плоскости $\beta$ с ребрами $BB_1$, $DD_1$ и $CC_1$. Обозначим эти точки $P$, $F$ и $Q$ соответственно. Таким образом, сечение — это пятиугольник $MKFQP$. Площадь этого сечения равна $S$.

Воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции фигуры. Площадь проекции сечения на плоскость основания ($S_{proj}$) связана с площадью самого сечения ($S$) соотношением:

$S_{proj} = S \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Проекцией пятиугольника-сечения $MKFQP$ на плоскость основания $ABC$ является пятиугольник $MKDCB$. Найдем его площадь.Площадь этого пятиугольника можно вычислить как разность площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $AMK$.

Площадь квадрата $ABCD$ равна:

$S_{ABCD} = AB^2 = a^2$

Треугольник $AMK$ — прямоугольный, так как $AB \perp AD$. Его катеты равны:

$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$AK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$

Площадь треугольника $AMK$ равна:

$S_{\triangle AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Теперь найдем площадь проекции:

$S_{proj} = S_{ABCD} - S_{\triangle AMK} = a^2 - \frac{a^2}{8} = \frac{7}{8}a^2$

Подставим это выражение в формулу для площади проекции:

$\frac{7}{8}a^2 = S \cos\alpha$

Выразим отсюда $a^2$:

$a^2 = \frac{8S \cos\alpha}{7}$

Так как $a$ — это длина отрезка $AB$, $a$ должно быть положительным:

$a = \sqrt{\frac{8S \cos\alpha}{7}}$

Ответ: $AB = \sqrt{\frac{8S \cos\alpha}{7}}$.