Страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.26. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $BEC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $BE = CE = 8 \text{ см}$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.

Построим проекцию прямой $DE$ на плоскость квадрата $(ABC)$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости, значит, её проекция совпадает с ней самой. Чтобы найти проекцию точки $E$, нужно опустить перпендикуляр из точки $E$ на плоскость $(ABC)$.

Рассмотрим треугольник $BEC$. Он является равнобедренным, так как по условию $BE=CE=8$ см. Проведём в нём высоту $EM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $BC$.

По условию, плоскости квадрата $(ABC)$ и треугольника $(BEC)$ перпендикулярны. Их линия пересечения — прямая $BC$. Отрезок $EM$ лежит в плоскости $(BEC)$ и перпендикулярен линии пересечения $BC$ ($EM \perp BC$). По свойству перпендикулярных плоскостей, прямая в одной из плоскостей, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $EM \perp (ABC)$.

Таким образом, $EM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на плоскость $(ABC)$, а точка $M$ — проекция точки $E$ на эту плоскость. Следовательно, отрезок $DM$ является проекцией наклонной $DE$ на плоскость $(ABC)$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle EDM$.

Найдём этот угол из прямоугольного треугольника $\triangle EDM$ (угол $\angle EMD = 90^\circ$, так как $EM$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$). Для этого вычислим длины катетов $EM$ и $DM$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ см, то все его стороны равны 4 см, в частности $BC = 4$ см и $CD = 4$ см. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle EMC$ (угол $\angle EMC = 90^\circ$) по теореме Пифагора находим $EM$: $EM = \sqrt{EC^2 - MC^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см.

Отрезок $DM$ лежит в плоскости квадрата. Найдём его длину из прямоугольного треугольника $\triangle DCM$ (угол $\angle C = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $DM = \sqrt{DC^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle EDM$ можем найти тангенс искомого угла: $\tan(\alpha) = \tan(\angle EDM) = \frac{EM}{DM} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

15.27. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $AFB$ перпендикулярны, точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите расстояние от точки $F$ до центра окружности, проходящей через точки $C, D$ и $O$, если $AB = 10$ см, $AF = BF = 15$ см.

Пусть $P$ — центр окружности, проходящей через точки $C$, $D$ и $O$. Эти три точки лежат в плоскости квадрата $ABCD$. Найдем положение точки $P$ в этой плоскости.

Рассмотрим треугольник $CDO$.$ABCD$ — квадрат со стороной $AB=10$ см. Значит, $CD = 10$ см.Точка $O$ — центр квадрата, следовательно, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Диагональ квадрата $AC = BD = AB \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.Точка $O$ делит диагонали пополам, поэтому $OC = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Проверим тип треугольника $CDO$ по теореме, обратной теореме Пифагора:$OC^2 + OD^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100$ см².$CD^2 = 10^2 = 100$ см².Поскольку $OC^2 + OD^2 = CD^2$, треугольник $CDO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В треугольнике $CDO$ гипотенузой является сторона $CD$. Следовательно, точка $P$ — середина отрезка $CD$.

Для нахождения расстояния от точки $F$ до точки $P$ введем трехмерную систему координат.Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Поскольку плоскости $(AFB)$ и $(ABCD)$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $AB$, а $FK$ — высота равнобедренного треугольника $AFB$ (так как $AF=BF$), то $FK \perp AB$ и, следовательно, $FK$ перпендикулярна всей плоскости $(ABCD)$.

Разместим начало координат в точке $K$. Направим ось $Ox$ вдоль луча $KB$, ось $Oy$ — в плоскости квадрата перпендикулярно $AB$ в сторону $CD$, а ось $Oz$ — вдоль луча $KF$.В этой системе координат:

• $A = (-5, 0, 0)$, $B = (5, 0, 0)$
• $D = (-5, 10, 0)$, $C = (5, 10, 0)$

Найдем координаты точки $P$ как середины отрезка $CD$:$P = (\frac{-5+5}{2}; \frac{10+10}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0, 10, 0)$.

Теперь найдем координаты точки $F$. Точка $F$ лежит на оси $Oz$, ее координаты $(0, 0, z_F)$, где $z_F = FK$.Длину $FK$ найдем из прямоугольного треугольника $FKB$ ($∠FKB = 90^\circ$):$FK = \sqrt{FB^2 - KB^2}$.Известно, что $FB = 15$ см, а $KB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.$FK = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.Таким образом, координаты точки $F$ равны $(0, 0, 10\sqrt{2})$.

Наконец, найдем расстояние $FP$ между точками $F(0, 0, 10\sqrt{2})$ и $P(0, 10, 0)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$FP = \sqrt{(x_P - x_F)^2 + (y_P - y_F)^2 + (z_P - z_F)^2}$$FP = \sqrt{(0 - 0)^2 + (10 - 0)^2 + (0 - 10\sqrt{2})^2} = \sqrt{0^2 + 10^2 + (-10\sqrt{2})^2}$$FP = \sqrt{0 + 100 + 200} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

15.28. Плоскости квадратов $ABCD$ и $BEFD$ перпендикулярны, $AB = a$.

Найдите расстояние между прямыми:

1) $BE$ и $DF$;

2) $BE$ и $CD$.

По условию, ABCD и BEFD – это два квадрата, плоскости которых перпендикулярны. Сторона квадрата ABCD равна $AB = a$.

1. Определим размеры фигур. Поскольку ABCD – квадрат со стороной $a$, то $AB = BC = CD = DA = a$. Его диагональ BD можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $BD = a\sqrt{2}$.

2. Поскольку BEFD – квадрат, и BD является одной из его сторон (исходя из последовательности вершин), то все его стороны равны длине BD. Таким образом, $BE = EF = FD = DB = a\sqrt{2}$.

3. Плоскости (ABCD) и (BEFD) перпендикулярны, и их общей линией пересечения является прямая BD.

1) BE и DF

Прямые BE и DF содержат противоположные стороны квадрата BEFD. По определению квадрата, противоположные стороны параллельны. Следовательно, $BE \parallel DF$.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. В квадрате BEFD стороны BD и EF перпендикулярны сторонам BE и DF. Значит, длина отрезка BD (или EF) и есть искомое расстояние.

Длина стороны BD была найдена ранее и составляет $a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$

2) BE и CD

Прямые BE и CD являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Рассмотрим взаимное расположение прямых и плоскостей. Плоскость (BEFD) перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая BE лежит в плоскости (BEFD). В квадрате BEFD угол между смежными сторонами прямой, поэтому $BE \perp BD$.

Согласно теореме стереометрии, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и второй плоскости. В нашем случае BE лежит в (BEFD), $BE \perp BD$ (линия пересечения), и $(BEFD) \perp (ABCD)$, следовательно, прямая BE перпендикулярна плоскости (ABCD).

Так как прямая BE перпендикулярна плоскости (ABCD), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая BC лежит в плоскости (ABCD), значит $BE \perp BC$.

В то же время, в квадрате ABCD смежные стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp CD$.

Мы получили, что отрезок BC перпендикулярен обеим прямым: BE (в точке B) и CD (в точке C). Таким образом, BC является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых BE и CD.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка BC. Так как BC — это сторона квадрата ABCD, ее длина равна $a$.

Ответ: $a$

15.29. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $ABC$ и $ADC$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $B$ и $D$, если $AB = 30$ см, $BC = 40$ см.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 30$ см и $BC = 40$ см. После того как его перегнули по диагонали $AC$, мы получили два треугольника $ABC$ и $ADC$, лежащих в перпендикулярных плоскостях. Нам нужно найти расстояние между точками $B$ и $D$.

1. Сначала найдем длину диагонали $AC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$ (угол прямоугольника). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

$AC = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Чтобы найти расстояние $BD$ в пространстве, построим вспомогательный треугольник. Опустим перпендикуляры из точек $B$ и $D$ на их общую линию пересечения $AC$.

В плоскости $(ABC)$ проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к гипотенузе $AC$. Длину этой высоты можно найти, используя метод площадей для треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $ABC$ с одной стороны равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см².

С другой стороны, та же площадь равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Приравняем эти два выражения и найдем $BH$:

$600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot BH$

$600 = 25 \cdot BH$

$BH = \frac{600}{25} = 24$ см.

3. Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны, так как они являются частями одного и того же прямоугольника. Поэтому высота $DH$, проведенная из вершины $D$ к стороне $AC$ в треугольнике $ADC$, будет равна высоте $BH$ и будет опущена в ту же точку $H$ на диагонали $AC$.

Следовательно, $DH = BH = 24$ см.

4. По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Высота $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. Высота $DH$ лежит в плоскости $(ADC)$ и также перпендикулярна линии пересечения $AC$. Угол между прямыми $BH$ и $DH$ равен двугранному углу между плоскостями, то есть $90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BHD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. Катеты этого треугольника равны $BH = 24$ см и $DH = 24$ см. Искомое расстояние $BD$ является гипотенузой этого треугольника.

5. По теореме Пифагора для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + DH^2$

$BD^2 = 24^2 + 24^2 = 576 + 576 = 1152$

$BD = \sqrt{1152} = \sqrt{576 \cdot 2} = 24\sqrt{2}$ см.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см.

15.30. Параллелограмм $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$ так, что плоскости $ABD$ и $CBD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $A$ и $C$, если $AB = 4$ см, $BD = 5$ см, $\angle ABD = 60^\circ$.

После того, как параллелограмм $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$, мы получили два треугольника $ABD$ и $CBD$, лежащих в перпендикулярных плоскостях. Линией пересечения этих плоскостей является общая сторона $BD$. Для того чтобы найти расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, найдем проекции этих точек на линию пересечения плоскостей $BD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Проведем в нем высоту $AH$ к стороне $BD$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным. Используя данные $AB = 4$ см, $\angle ABD = 60^{\circ}$, найдем длину высоты $AH$ и отрезка $BH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABD) = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$BH = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 4 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $CD = AB = 4$ см, а сторона $CD$ параллельна $AB$. Диагональ $BD$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CDB = \angle ABD = 60^{\circ}$.
Проведем в треугольнике $CBD$ высоту $CK$ к стороне $BD$. Треугольник $CKD$ является прямоугольным. Найдем длину высоты $CK$ и отрезка $DK$:
$CK = CD \cdot \sin(\angle CDB) = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$DK = CD \cdot \cos(\angle CDB) = 4 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

3. Точки $H$ и $K$ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из $A$ и $C$ на прямую $BD$. Найдем расстояние между этими точками на диагонали $BD$:
$HK = BD - BH - DK = 5 - 2 - 2 = 1$ см.

4. Теперь у нас есть пространственная конструкция. Отрезки $AH$ и $CK$ перпендикулярны прямой $BD$. Так как плоскости $(ABD)$ и $(CBD)$ перпендикулярны, то и отрезки $AH$ и $CK$, лежащие в этих плоскостях и перпендикулярные линии их пересечения, взаимно перпендикулярны.
Расстояние $AC$ можно найти как пространственную диагональ, используя теорему Пифагора для трех измерений: длины отрезков $AH$, $CK$ и $HK$.
$AC^2 = AH^2 + CK^2 + HK^2$

Подставим найденные значения:
$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = (4 \cdot 3) + (4 \cdot 3) + 1 = 12 + 12 + 1 = 25$.
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

15.31. Точка $M$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$ и находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите расстояние от центра треугольника $ABC$ до плоскости $AMB$, если сторона данного треугольника равна $12\sqrt{3}$ см.

Пусть O - центр равностороннего треугольника ABC. Так как точка M равноудалена от вершин треугольника A, B и C, ее проекция на плоскость ABC совпадает с центром описанной около треугольника окружности. Для равностороннего треугольника центр описанной окружности, центр вписанной окружности, точка пересечения медиан (центроид) и ортоцентр совпадают в одной точке O.

Таким образом, отрезок MO является перпендикуляром к плоскости ABC, и его длина равна заданному расстоянию от точки M до плоскости треугольника. По условию $MO = 8$ см.

Найдем расстояние от центра O до стороны AB. В равностороннем треугольнике это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$. Сторона треугольника $a = 12\sqrt{3}$ см. Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Пусть H - середина стороны AB. Тогда $OH = r$.

$OH = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6$ см.

Искомое расстояние от центра O до плоскости AMB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость AMB.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и H. Так как $MO \perp (ABC)$ и $OH \subset (ABC)$, то $MO \perp OH$. Следовательно, треугольник MOH — прямоугольный ($\angle MOH = 90^\circ$). Так как OH — радиус вписанной окружности, проведенный к середине стороны AB, то $OH \perp AB$. Треугольник AMB — равнобедренный ($MA=MB$), так как M равноудалена от вершин A и B. Его медиана MH (H - середина AB) является также и высотой, то есть $MH \perp AB$.

Поскольку прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OH и MH в плоскости MOH, то прямая AB перпендикулярна всей плоскости MOH. Плоскость AMB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна плоскости MOH. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость AMB перпендикулярна плоскости MOH.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая MH. Расстояние от точки O до плоскости AMB равно длине перпендикуляра OK, опущенного из точки O на линию их пересечения MH. Таким образом, нам необходимо найти длину высоты OK прямоугольного треугольника MOH, проведенной из вершины прямого угла O к гипотенузе MH.

Катеты треугольника MOH нам известны: $MO = 8$ см, $OH = 6$ см. Найдем гипотенузу MH по теореме Пифагора:

$MH = \sqrt{MO^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Для нахождения высоты OK в прямоугольном треугольнике воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника MOH можно вычислить как:

$S_{MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь можно выразить через гипотенузу MH и высоту OK:

$S_{MOH} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$

Приравняем оба выражения:

$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot OK$

$24 = 5 \cdot OK$

$OK = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.

15.32. Точка $M$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$ и находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата $ABCD$ до плоскости $CMD$, если сторона квадрата равна $4$ см.

Пусть O — центр квадрата ABCD, который является точкой пересечения его диагоналей. Поскольку точка M равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD$), её проекция на плоскость квадрата совпадает с центром описанной около него окружности, то есть с точкой O. Это означает, что отрезок MO перпендикулярен плоскости квадрата ABCD.

Длина отрезка MO — это расстояние от точки M до плоскости квадрата, по условию $MO = 4\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $AB = BC = CD = DA = 4$ см.

Требуется найти расстояние от центра квадрата O до плоскости CMD. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость CMD.

Для нахождения этого расстояния рассмотрим вспомогательные построения. Пусть K — середина стороны CD. В плоскости квадрата отрезок OK соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OK \perp CD$. Длина OK равна половине стороны квадрата:$OK = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и K. Так как $MO \perp (ABCD)$, то $MO \perp OK$. Следовательно, треугольник MOK — прямоугольный с прямым углом при вершине O.

В треугольнике CMD отрезок MK является медианой, проведенной к основанию CD. Так как M равноудалена от C и D, треугольник CMD является равнобедренным ($MC=MD$), и поэтому его медиана MK также является и высотой, то есть $MK \perp CD$.

Найдем длину гипотенузы MK в прямоугольном треугольнике MOK по теореме Пифагора:$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Искомое расстояние от точки O до плоскости CMD — это длина перпендикуляра, опущенного из O на эту плоскость. Проведем в треугольнике MOK высоту OH к гипотенузе MK. Докажем, что OH и есть этот перпендикуляр.

1. По построению $OH \perp MK$.
2. Ранее было установлено, что $CD \perp OK$ и $CD \perp MO$ (т.к. MO перпендикулярен всей плоскости ABCD). Поскольку OK и MO — пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости MOK, то прямая CD перпендикулярна всей плоскости MOK. А значит, CD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и OH, то есть $CD \perp OH$.

Так как отрезок OH перпендикулярен двум пересекающимся прямым MK и CD в плоскости CMD, то OH перпендикулярен плоскости CMD. Таким образом, длина OH — искомое расстояние.

Длину высоты OH в прямоугольном треугольнике MOK можно найти, приравняв выражения для его площади:$S_{\triangle MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot OH$$MO \cdot OK = MK \cdot OH$$OH = \frac{MO \cdot OK}{MK}$Подставим известные значения:$OH = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: расстояние от центра квадрата ABCD до плоскости CMD равно $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

15.33. Плоскости равностороннего треугольника $AMB$ и квадрата $ABCD$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ и равностороннего треугольника $AMB$ равна $a$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В нашей задаче мы ищем угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата $ABCD$. Точка $D$ уже принадлежит плоскости $ABCD$. Чтобы найти искомый угол, нам нужно найти проекцию точки $M$ на эту плоскость.

Проведём в равностороннем треугольнике $AMB$ высоту $MH$ к основанию $AB$. Поскольку треугольник равносторонний, $MH$ является также его медианой, и, следовательно, точка $H$ — это середина отрезка $AB$.

По условию задачи, плоскость треугольника $AMB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$. Так как отрезок $MH$ лежит в плоскости $AMB$ и перпендикулярен линии пересечения ($MH \perp AB$), то $MH$ перпендикулярен всей плоскости $ABCD$.

Таким образом, $H$ — это ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $ABCD$. Прямая $HD$ является проекцией прямой $MD$ на плоскость $ABCD$. Искомый угол — это угол между наклонной $MD$ и её проекцией $HD$, то есть угол $\angle MDH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MDH$ (угол $\angle MHD = 90^\circ$, так как $MH$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит $HD$). Для нахождения угла $\angle MDH$ вычислим длины катетов $MH$ и $HD$.

1. Найдём длину катета $MH$. $MH$ является высотой в равностороннем треугольнике $AMB$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$MH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём длину катета $HD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$, который лежит в плоскости квадрата. Угол $\angle DAH = 90^\circ$. Катет $AD = a$. Катет $AH$ равен половине стороны $AB$, так как $H$ — середина $AB$, то есть $AH = \frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора:
$HD^2 = AD^2 + AH^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$HD = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

3. Теперь найдём тангенс искомого угла $\angle MDH$ в прямоугольном треугольнике $MDH$:
$\tan(\angle MDH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MH}{HD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$.

Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.

15.34. Плоскости равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$.

Пусть сторона равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ равна $a$. Плоскости, в которых лежат эти треугольники, перпендикулярны. Требуется найти угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$.

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется величиной его линейного угла. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки на линии пересечения.

Линией пересечения плоскостей $(ACD)$ и $(BCD)$ является прямая $CD$.

1. Анализ геометрии фигуры.
В тетраэдре $ABCD$ по условию грани $ABC$ и $ABD$ — равносторонние треугольники. Это означает, что все ребра, выходящие из вершин $A$ и $B$, равны $a$: $AC = BC = AB = a$ и $AD = BD = AB = a$.Следовательно, $AC = AD = BC = BD = a$.Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.- $AC = a, AD = a \implies \triangle ACD$ — равнобедренный.- $BC = a, BD = a \implies \triangle BCD$ — равнобедренный.- Так как $AC=BC$, $AD=BD$ и сторона $CD$ общая, то $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам.

2. Построение линейного угла.
Для нахождения угла между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$ построим их линейный угол. Проведем высоты к общему основанию $CD$ в равных равнобедренных треугольниках $ACD$ и $BCD$.Пусть $K$ — середина ребра $CD$. Поскольку $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равнобедренные с основанием $CD$, их медианы $AK$ и $BK$, проведенные к основанию, являются также и высотами.Следовательно, $AK \perp CD$ и $BK \perp CD$.По определению, угол $\angle AKB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$. Найдем величину этого угла.

3. Вычисление длин сторон треугольника $AKB$.
Рассмотрим $\triangle AKB$. Сторона $AB$ нам известна: $AB = a$. Найдем длины сторон $AK$ и $BK$. Так как $\triangle ACD = \triangle BCD$, то их высоты, проведенные к общему основанию, равны: $AK = BK$.Для вычисления длины $AK$ необходимо найти длину ребра $CD$.Пусть $M$ — середина общего ребра $AB$. Тогда $CM$ и $DM$ — высоты (и медианы) в равносторонних треугольниках $ABC$ и $ABD$ соответственно. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны. $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$. Угол между прямыми $CM$ и $DM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ABD)$, следовательно, $\angle CMD = 90^\circ$.Рассмотрим $\triangle CMD$. Он является прямоугольным и равнобедренным. По теореме Пифагора:$CD^2 = CM^2 + DM^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$.Отсюда $CD = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Теперь вернемся к $\triangle ACD$. Он равнобедренный с боковыми сторонами $AC = AD = a$ и основанием $CD = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. $AK$ — его высота. $K$ — середина $CD$, поэтому $CK = \frac{1}{2}CD = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.Из прямоугольного $\triangle ACK$ по теореме Пифагора:$AK^2 = AC^2 - CK^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{6}}{4})^2 = a^2 - \frac{6a^2}{16} = a^2 - \frac{3a^2}{8} = \frac{5a^2}{8}$.

4. Нахождение искомого угла.
Мы нашли все стороны в $\triangle AKB$:- $AB = a$- $AK = BK = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$Применим теорему косинусов для $\triangle AKB$ чтобы найти угол $\phi = \angle AKB$:$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{5a^2}{8} + \frac{5a^2}{8} - 2 \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{8}} \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{8}} \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{10a^2}{8} - 2 \cdot \frac{5a^2}{8} \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{5a^2}{4} - \frac{5a^2}{4} \cdot \cos(\phi)$Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):$1 = \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos(\phi)$$\frac{5}{4} \cos(\phi) = \frac{5}{4} - 1$$\frac{5}{4} \cos(\phi) = \frac{1}{4}$$\cos(\phi) = \frac{1}{5}$Следовательно, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{5})$

15.35. Плоскости равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть сторона равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ равна 2. Это не повлияет на величину искомого угла, но упростит вычисления.

Разместим заданную конфигурацию в трехмерной декартовой системе координат. Пусть общее основание $AB$ лежит на оси $Ox$, а его середина совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Тогда вершины $A$ и $B$ будут иметь координаты $A(-1, 0, 0)$ и $B(1, 0, 0)$.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 2, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$, равна $h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Поскольку эта высота лежит на оси $Oy$, координаты точки $C$ будут $C(0, \sqrt{3}, 0)$. Таким образом, плоскость $(ABC)$ — это плоскость, заданная уравнением $z=0$.

По условию, плоскость треугольника $ABD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Так как плоскость $(ABC)$ — это $Oxy$, то плоскость $(ABD)$ должна быть перпендикулярна ей, например, это может быть плоскость $Oxz$. Высота равностороннего треугольника $ABD$ из вершины $D$ к основанию $AB$ также равна $\sqrt{3}$ и будет лежать на оси $Oz$. Следовательно, координаты точки $D$ будут $D(0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(BCD)$. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Нормальный вектор к плоскости $(ABC)$, которая задается уравнением $z=0$, сонаправлен с осью $Oz$. Возьмем в качестве нормального вектора $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Чтобы найти нормальный вектор к плоскости $(BCD)$, сначала найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Используем координаты точек: $B(1, 0, 0)$, $C(0, \sqrt{3}, 0)$, $D(0, 0, \sqrt{3})$.
$\vec{BC} = C - B = (0 - 1, \sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.
$\vec{BD} = D - B = (0 - 1, 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (-1, 0, \sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BCD}$ к плоскости $(BCD)$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{n}_{BCD} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & \sqrt{3} & 0 \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot \sqrt{3} - 0) + \mathbf{k}(0 - (-1) \cdot \sqrt{3}) = (3, \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями. Он равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCD}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n}_{BCD}|}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCD} = (0, 0, 1) \cdot (3, \sqrt{3}, \sqrt{3}) = 0 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
$|\vec{n}_{BCD}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3 + 3} = \sqrt{15}$.
Подставляем значения в формулу для косинуса угла:
$\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{1 \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Следовательно, искомый угол $\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

15.36. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, площадь которого равна $S$. Грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания, а грани $MCD$ и $MAD$ образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные $15^\circ$ и $75^\circ$. Найдите ребро $MB$.

Поскольку грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$, то их линия пересечения, ребро $MB$, также перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $MB$ является высотой пирамиды. Обозначим длину ребра $MB$ как $h$.

Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

Угол между гранью $MCD$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол при ребре $CD$. Поскольку $BC \perp CD$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $MB \perp (ABCD)$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MC$ также перпендикулярна ребру $CD$. Следовательно, линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle MCB$. По условию, $\angle MCB = 15^\circ$.

Аналогично, угол между гранью $MAD$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол при ребре $AD$. Поскольку $AB \perp AD$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $MB \perp (ABCD)$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MA$ также перпендикулярна ребру $AD$. Следовательно, линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle MAB$. По условию, $\angle MAB = 75^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ ($\angle MBA = 90^\circ$). Из определения тангенса угла имеем:$\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}$$\tan(75^\circ) = \frac{h}{AB}$, откуда $AB = \frac{h}{\tan(75^\circ)} = h \cdot \cot(75^\circ)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ ($\angle MBC = 90^\circ$). Из определения тангенса угла имеем:$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC}$$\tan(15^\circ) = \frac{h}{BC}$, откуда $BC = \frac{h}{\tan(15^\circ)} = h \cdot \cot(15^\circ)$.

Площадь основания пирамиды, прямоугольника $ABCD$, равна $S$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его смежных сторон: $S = AB \cdot BC$. Подставим в эту формулу найденные выражения для $AB$ и $BC$:$S = (h \cdot \cot(75^\circ)) \cdot (h \cdot \cot(15^\circ)) = h^2 \cdot \cot(75^\circ) \cdot \cot(15^\circ)$.

Используем тригонометрическое тождество $\cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$. Тогда $\cot(75^\circ) = \cot(90^\circ - 15^\circ) = \tan(15^\circ)$.Подставим это в выражение для площади:$S = h^2 \cdot \tan(15^\circ) \cdot \cot(15^\circ)$.Так как $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$, то $\tan(15^\circ) \cdot \cot(15^\circ) = 1$.Следовательно, $S = h^2 \cdot 1$, то есть $S = h^2$.

Отсюда находим $h$: $h = \sqrt{S}$.Поскольку $MB = h$, то $MB = \sqrt{S}$.

Ответ: $MB = \sqrt{S}$.

15.37. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, диагональ которого равна $d$. Грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания, а грани $MCD$ и $MAD$ образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите ребро $MB$.

1. Анализ расположения высоты пирамиды

По условию, грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Грани $MAB$ и $MCB$ пересекаются по ребру $MB$. Следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и $MB$ является высотой пирамиды.

Из того, что $MB \perp (ABCD)$, следует, что $MB$ перпендикулярно всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку $B$. В частности, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

2. Определение линейных углов

Угол между гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Его величина измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней в одной точке.

Для грани $MCD$ и плоскости основания $(ABCD)$ линией пересечения является прямая $CD$. В плоскости основания $ABCD$ (прямоугольник) имеем $BC \perp CD$. Так как $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а $MC$ — наклонная с проекцией $BC$ на эту плоскость, то по теореме о трех перпендикулярах, из $BC \perp CD$ следует $MC \perp CD$. Таким образом, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между гранью $MCD$ и основанием. По условию, $\angle MCB = 30^\circ$.

Для грани $MAD$ и плоскости основания $(ABCD)$ линией пересечения является прямая $AD$. В плоскости основания $ABCD$ (прямоугольник) имеем $AB \perp AD$. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB \perp AD$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ плоскости $(MAB)$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(MAB)$. Следовательно, $AD \perp MA$. Таким образом, угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла между гранью $MAD$ и основанием. По условию, $\angle MAB = 60^\circ$.

3. Выражение сторон основания через высоту

Обозначим искомую длину ребра $MB$ как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ ($\angle B = 90^\circ$). Из определения тангенса:

$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{h}{BC}$

$BC = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ ($\angle B = 90^\circ$). Аналогично:

$\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{h}{AB}$

$AB = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$

4. Нахождение ребра MB

Основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$. Его диагональ $AC$ равна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$d^2 = \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 + (h\sqrt{3})^2$

$d^2 = \frac{h^2}{3} + 3h^2$

$d^2 = h^2 \left(\frac{1}{3} + 3\right) = h^2 \left(\frac{1+9}{3}\right) = h^2 \frac{10}{3}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = \frac{3d^2}{10}$

Отсюда находим $h$ (длину ребра $MB$):

$h = \sqrt{\frac{3d^2}{10}} = d\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{d\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{d\sqrt{3}\sqrt{10}}{10} = \frac{d\sqrt{30}}{10}$

Ответ: $MB = \frac{d\sqrt{30}}{10}$