Номер 15.31, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.31. Точка $M$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$ и находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите расстояние от центра треугольника $ABC$ до плоскости $AMB$, если сторона данного треугольника равна $12\sqrt{3}$ см.

Пусть O - центр равностороннего треугольника ABC. Так как точка M равноудалена от вершин треугольника A, B и C, ее проекция на плоскость ABC совпадает с центром описанной около треугольника окружности. Для равностороннего треугольника центр описанной окружности, центр вписанной окружности, точка пересечения медиан (центроид) и ортоцентр совпадают в одной точке O.

Таким образом, отрезок MO является перпендикуляром к плоскости ABC, и его длина равна заданному расстоянию от точки M до плоскости треугольника. По условию $MO = 8$ см.

Найдем расстояние от центра O до стороны AB. В равностороннем треугольнике это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$. Сторона треугольника $a = 12\sqrt{3}$ см. Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Пусть H - середина стороны AB. Тогда $OH = r$.

$OH = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6$ см.

Искомое расстояние от центра O до плоскости AMB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость AMB.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и H. Так как $MO \perp (ABC)$ и $OH \subset (ABC)$, то $MO \perp OH$. Следовательно, треугольник MOH — прямоугольный ($\angle MOH = 90^\circ$). Так как OH — радиус вписанной окружности, проведенный к середине стороны AB, то $OH \perp AB$. Треугольник AMB — равнобедренный ($MA=MB$), так как M равноудалена от вершин A и B. Его медиана MH (H - середина AB) является также и высотой, то есть $MH \perp AB$.

Поскольку прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OH и MH в плоскости MOH, то прямая AB перпендикулярна всей плоскости MOH. Плоскость AMB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна плоскости MOH. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость AMB перпендикулярна плоскости MOH.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая MH. Расстояние от точки O до плоскости AMB равно длине перпендикуляра OK, опущенного из точки O на линию их пересечения MH. Таким образом, нам необходимо найти длину высоты OK прямоугольного треугольника MOH, проведенной из вершины прямого угла O к гипотенузе MH.

Катеты треугольника MOH нам известны: $MO = 8$ см, $OH = 6$ см. Найдем гипотенузу MH по теореме Пифагора:

$MH = \sqrt{MO^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Для нахождения высоты OK в прямоугольном треугольнике воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника MOH можно вычислить как:

$S_{MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь можно выразить через гипотенузу MH и высоту OK:

$S_{MOH} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$

Приравняем оба выражения:

$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot OK$

$24 = 5 \cdot OK$

$OK = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.