Номер 15.24, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.24. Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и точку $M$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$.

3) Найдите площадь сечения, если $AD = 10$ см, $AB = 8$ см, $AA_1 = 6$ см.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и точку $M$.

Назовем секущую плоскость $\alpha$. По условию, прямая $AD$ и точка $M$ принадлежат плоскости $\alpha$. Так как точки $A$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AD$ лежит в этой плоскости. Отрезок $AD$ является одной из сторон сечения. Плоскости оснований параллелепипеда $(ABCD)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Плоскость $\alpha$ пересекает нижнее основание $(ABCD)$ по прямой $AD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает верхнее основание $(A_1B_1C_1D_1)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной прямой $AD$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребра $AD$ и $A_1D_1$ параллельны. Значит, в плоскости верхнего основания нужно провести прямую через точку $M$ параллельно $A_1D_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $C_1D_1$ в точке $N$. Соединив последовательно точки $A$, $M$, $N$ и $D$, получим искомое сечение — четырехугольник $AMND$.

Так как $MN \parallel A_1D_1$, $A_1M \parallel D_1N$ (поскольку $A_1B_1 \parallel D_1C_1$) и $\angle MA_1D_1 = 90^\circ$, то четырехугольник $A_1MND_1$ является прямоугольником. Из этого следует, что $A_1M = D_1N$. По условию $M$ — середина $A_1B_1$, значит $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1$. Следовательно, $D_1N = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} D_1C_1$, то есть точка $N$ — середина ребра $D_1C_1$.

Построение:
1. Соединить точки $A$ и $D$.
2. Найти точку $N$ — середину ребра $C_1D_1$.
3. Соединить точки $M$ и $N$.
4. Соединить точки $A$ и $M$, $D$ и $N$.
Четырехугольник $AMND$ — искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AMND$, где $N$ — середина ребра $C_1D_1$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$.

Плоскость сечения — это плоскость $(AMN)$. Плоскость боковой грани — $(CC_1D_1D)$. Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно доказать, что одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Докажем, что прямая $AD$, лежащая в плоскости сечения, перпендикулярна плоскости $(CC_1D_1D)$.

По определению прямоугольного параллелепипеда, его основание $ABCD$ — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию. 1. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$.
2. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DD_1 \perp AD$.

Прямые $CD$ и $DD_1$ лежат в плоскости $(CC_1D_1D)$ и пересекаются в точке $D$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $(CC_1D_1D)$, то прямая $AD$ перпендикулярна самой плоскости $(CC_1D_1D)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как плоскость сечения $(AMND)$ содержит прямую $AD$, которая перпендикулярна плоскости $(CC_1D_1D)$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $(AMND)$ перпендикулярна плоскости $(CC_1D_1D)$.

Ответ: Доказано, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $CC_1D_1$.

3) Найдите площадь сечения, если $AD = 10$ см, $AB = 8$ см, $AA_1 = 6$ см.

Сечением является четырехугольник $AMND$. Как было показано при построении, $MN \parallel AD$. Значит, $AMND$ — трапеция. Определим вид этой трапеции.

Ребро $AD$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, так как $AD \perp AB$ (потому что $ABCD$ — прямоугольник) и $AD \perp AA_1$ (потому что $ADD_1A_1$ — прямоугольник). Поскольку $AD \perp (ABB_1A_1)$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$ и проходит через точку $A$. Следовательно, $AD \perp AM$, то есть $\angle DAM = 90^\circ$.

Поскольку $MN \parallel AD$ и $\angle DAM = 90^\circ$, то $AMND$ является прямоугольной трапецией. Кроме того, $MN = A_1D_1$ (из прямоугольника $A_1MND_1$), а $A_1D_1 = AD$ (противоположные стороны параллелепипеда). Значит, $MN = AD = 10$ см. Трапеция, у которой основания равны, является параллелограммом. А параллелограмм с прямым углом ($\angle DAM = 90^\circ$) является прямоугольником. Таким образом, сечение $AMND$ — это прямоугольник.

Площадь прямоугольника $AMND$ равна произведению его смежных сторон: $S_{AMND} = AD \cdot AM$. Длина стороны $AD$ дана: $AD = 10$ см. Найдем длину стороны $AM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1M$ (угол $\angle A_1$ прямой, так как грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник). Катет $AA_1 = 6$ см (по условию). Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$. Длина $A_1B_1 = AB = 8$ см. Следовательно, катет $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle AA_1M$: $AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$ $AM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Теперь вычислим площадь сечения: $S_{AMND} = AD \cdot AM = 10 \cdot 2\sqrt{13} = 20\sqrt{13}$ см$^2$.

Ответ: $20\sqrt{13}$ см$^2$.