Номер 15.22, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.22. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AA_1$ и перпендикулярной плоскости $BDD_1$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ должна проходить через прямую $ AA_1 $ и быть перпендикулярной плоскости $ BDD_1 $.

Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Наша задача — найти такую прямую, которая будет лежать в искомой плоскости $ \alpha $ и будет перпендикулярна плоскости $ BDD_1 $.

Рассмотрим диагональ основания куба $ AC $. Основание $ ABCD $ является квадратом, поэтому его диагонали взаимно перпендикулярны: $ AC \perp BD $.

Ребро куба $ DD_1 $ перпендикулярно плоскости основания $ ABCD $, а значит, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $ DD_1 \perp AC $.

Поскольку прямая $ AC $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ BD $ и $ DD_1 $) плоскости $ BDD_1 $, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $ AC $ перпендикулярна плоскости $ BDD_1 $. То есть, $ AC \perp (BDD_1) $.

Искомая плоскость сечения $ \alpha $ должна проходить через прямую $ AA_1 $ (а значит, и через точку $ A $) и быть перпендикулярной плоскости $ BDD_1 $. Так как мы нашли прямую $ AC $, которая проходит через точку $ A $ и перпендикулярна плоскости $ BDD_1 $, то искомая плоскость $ \alpha $ должна содержать эту прямую.

Таким образом, плоскость сечения $ \alpha $ определяется двумя пересекающимися прямыми $ AA_1 $ и $ AC $. Эта плоскость проходит через точки $ A, A_1, C $. Так как $ AA_1 \parallel CC_1 $ и $ AC \parallel A_1C_1 $, то плоскость $ \alpha $ также проходит через точку $ C_1 $. Следовательно, искомым сечением является четырёхугольник, образованный пересечением плоскости $ (ACC_1) $ с гранями куба. Этим сечением является диагональное сечение $ ACC_1A_1 $.

Для построения сечения достаточно соединить последовательно точки $ A, C, C_1, A_1 $. Полученный четырёхугольник $ ACC_1A_1 $ и будет искомым сечением. Он является прямоугольником, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит и диагонали $AC$.

Ответ: Искомое сечение – диагональный прямоугольник $ ACC_1A_1 $.