Номер 15.16, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.16. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $B$ — в плоскости $\beta$. Точка $A$ удалена от линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ на 5 см, а точка $B$ — на $5\sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $30^\circ$.

Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, расстояние от нее до линии $l$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Тогда $AH \perp l$, $AH = 5$ см, и отрезок $AH$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.Аналогично, для точки $B$ в плоскости $\beta$ опустим перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим его основание как $K$. Тогда $BK \perp l$, $BK = 5\sqrt{2}$ см, и отрезок $BK$ целиком лежит в плоскости $\beta$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то прямая, лежащая в одной из плоскостей и перпендикулярная их линии пересечения, будет перпендикулярна и другой плоскости.Следовательно, $AH$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($AH \perp \beta$), а $BK$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($BK \perp \alpha$).Это означает, что $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$, а $BK$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость.По условию, угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $30°$. Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $HB$ (так как $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\beta$, а точка $B$ лежит в плоскости $\beta$). Таким образом, угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это $\angle ABH = 30°$.Рассмотрим треугольник $\triangle AHB$. Поскольку $AH \perp \beta$, то $AH \perp HB$, следовательно, $\triangle AHB$ — прямоугольный.Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$$\sin(30°) = \frac{5}{AB}$$\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}$Отсюда находим длину отрезка $AB$:$AB = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь найдем искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$. Обозначим его $\phi$.Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AK$ (так как $K$ — проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$, а точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$). Искомый угол $\phi$ — это $\angle BAK$.Рассмотрим треугольник $\triangle BKA$. Поскольку $BK \perp \alpha$, то $BK \perp AK$, следовательно, $\triangle BKA$ — прямоугольный.Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$\sin(\phi) = \sin(\angle BAK) = \frac{BK}{AB}$Подставим известные значения $BK = 5\sqrt{2}$ см и $AB = 10$ см:$\sin(\phi) = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45°$.Следовательно, $\phi = 45°$.

Ответ: $45°$.