Номер 15.14, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.14. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 15 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения данных плоскостей, равно 12 см. Найдите данный отрезок.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $l$ — линия их пересечения. Отрезок $AB$ таков, что его концы принадлежат этим плоскостям: точка $A \in \alpha$ и точка $B \in \beta$.

Из точек $A$ и $B$ опустим перпендикуляры на линию пересечения $l$. Пусть $A'$ и $B'$ — основания этих перпендикуляров на прямой $l$. Тогда по определению расстояния от точки до прямой:

• $AA'$ — расстояние от точки $A$ до прямой $l$, $AA' = 15$ см.
• $BB'$ — расстояние от точки $B$ до прямой $l$, $BB' = 16$ см.

Расстояние между основаниями этих перпендикуляров равно $A'B' = 12$ см. Необходимо найти длину отрезка $AB$.

Решение:

Рассмотрим пространственную конструкцию, образованную точками $A, B, A', B'$. Отрезок $AB$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle AB'B$, так как $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Докажем это.

Так как $B \in \beta$ и $B' \in l$, то отрезок $BB'$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($BB' \subset \beta$). По условию $BB' \perp l$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$), то любая прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, будет перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $BB' \perp \alpha$.

Так как $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AB'$ лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку $A \in \alpha$ и $B' \in l \subset \alpha$). Следовательно, $BB' \perp AB'$. Это означает, что треугольник $\triangle AB'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B'$.

По теореме Пифагора для $\triangle AB'B$:
$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$

Теперь найдем длину катета $AB'$. Рассмотрим треугольник $\triangle AA'B'$. Отрезок $AA'$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $A' \in l \subset \alpha$). По построению $AA' \perp l$. Отрезок $A'B'$ лежит на прямой $l$. Следовательно, $AA' \perp A'B'$, и треугольник $\triangle AA'B'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

По теореме Пифагора для $\triangle AA'B'$:
$(AB')^2 = (AA')^2 + (A'B')^2$

Подставим это выражение в первую формулу: $AB^2 = ((AA')^2 + (A'B')^2) + (BB')^2$ $AB^2 = (AA')^2 + (A'B')^2 + (BB')^2$

Подставим известные значения: $AB^2 = 15^2 + 12^2 + 16^2$ $AB^2 = 225 + 144 + 256$ $AB^2 = 369 + 256$ $AB^2 = 625$ $AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Длина искомого отрезка равна 25 см.

Ответ: 25 см.