gdz.top
Номер 15.21, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 15. Перпендикулярные плоскости - номер 15.21, страница 172.
№15.20
№15.21 (с. 172)
Условие. №15.21 (с. 172)
15.21. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Решение. №15.21 (с. 172)
Решение 2. №15.21 (с. 172)
Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, то есть $\alpha \parallel \beta$. Также дана плоскость $\gamma$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $\gamma \perp \alpha$. Требуется доказать, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна и плоскости $\beta$, то есть $\gamma \perp \beta$.
Для доказательства воспользуемся определением и признаком перпендикулярности плоскостей, а также свойством прямой, перпендикулярной параллельным плоскостям.
Поскольку плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ по условию, то (по определению перпендикулярности плоскостей или соответствующей теореме) в плоскости $\gamma$ найдется прямая $a$, перпендикулярная плоскости $\alpha$. Итак, мы имеем прямую $a$ такую, что $a \subset \gamma$ и $a \perp \alpha$.
Далее, нам известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Согласно теореме о прямой, перпендикулярной одной из параллельных плоскостей: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Так как $a \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, то отсюда следует, что прямая $a$ перпендикулярна и плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).
Теперь мы установили, что плоскость $\gamma$ содержит прямую $a$ ($a \subset \gamma$), которая перпендикулярна плоскости $\beta$. Воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Таким образом, поскольку плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$, перпендикулярную плоскости $\beta$, мы заключаем, что $\gamma \perp \beta$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15.21 расположенного на странице 172 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15.21 (с. 172), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.