Номер 15.25, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.25. Точки $E, F$ и $M$ — середины соответственно рёбер $BC, B_1C_1$ и $C_1D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $EFM$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $ABC$.

3) Найдите площадь сечения, если $AD = 8$ см, $AA_1 = 12$ см, $AB = 6$ см.

1)

Построение сечения выполняется следующим образом:
1. Соединяем точки $F$ и $M$, так как они обе лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $FM$ — след сечения на верхней грани.
2. Соединяем точки $E$ и $F$, так как они обе лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезок $EF$ — след сечения на правой грани.
3. Плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость $EFM$ пересекает их по параллельным прямым. Проведём в плоскости нижнего основания через точку $E$ прямую, параллельную $FM$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $K$. Отрезок $EK$ — след сечения на нижней грани.
4. Соединим точки $M$ и $K$, так как они обе лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Отрезок $MK$ — след сечения на задней грани.
В результате получаем искомое сечение — четырехугольник $EFKM$.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник $EFKM$, где $K$ – точка на ребре $CD$, такая, что $EK || FM$.

2)

1. Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, эта грань является прямоугольником.
2. Точка $E$ — середина $BC$, а точка $F$ — середина $B_1C_1$. Отрезок $EF$ соединяет середины противоположных сторон прямоугольника $BCC_1B_1$. Следовательно, $EF$ параллелен боковым ребрам $BB_1$ и $CC_1$.
3. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, $BB_1 \perp (ABC)$.
4. Так как $EF || BB_1$ и $BB_1 \perp (ABC)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $EF$ также перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
5. Прямая $EF$ принадлежит плоскости сечения $(EFM)$.
6. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Следовательно, плоскость сечения $(EFM)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

1. Найдем форму сечения $EFKM$. Как мы доказали в пункте 2, прямая $EF \perp (ABC)$. Так как $EK$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $EF \perp EK$. Аналогично, $EF \perp (A_1B_1C_1D_1)$, а так как $FM$ лежит в этой плоскости, то $EF \perp FM$. Поскольку в четырехугольнике $EFKM$ есть прямые углы (например, $\angle EFM$), и мы знаем, что $EK || FM$, то $EFKM$ — прямоугольник.
2. Найдем длины сторон этого прямоугольника, $EF$ и $FM$.
3. Длина $EF$ равна длине бокового ребра, так как $EF || BB_1$. По условию $AA_1 = 12$ см, значит $EF = AA_1 = 12$ см.
4. Для нахождения длины $FM$ рассмотрим верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$, которая является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FC_1M$.
Катеты этого треугольника:
$C_1F = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
$C_1M = \frac{1}{2} C_1D_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
По теореме Пифагора:
$FM = \sqrt{C_1F^2 + C_1M^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
5. Теперь найдем площадь сечения, которое является прямоугольником $EFKM$:
$S_{EFKM} = EF \cdot FM = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: 60 см².