Номер 15.19, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.19. Плоскости квадрата $ABCD$ и прямоугольника $AEFD$ перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$, если площадь квадрата равна $25 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника — $60 \text{ см}^2$.

Сначала найдем стороны квадрата $ABCD$ и прямоугольника $AEFD$ из их площадей.

Площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 25 \, \text{см}^2$. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то длина стороны квадрата составляет $AD = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}$. Следовательно, все стороны квадрата равны 5 см: $AB = BC = CD = DA = 5 \, \text{см}$.

Площадь прямоугольника $AEFD$ равна $S_{AEFD} = 60 \, \text{см}^2$. Прямоугольник и квадрат имеют общую сторону $AD = 5 \, \text{см}$. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, поэтому $S_{AEFD} = AD \cdot AE$. Отсюда находим длину стороны $AE$:
$AE = \frac{S_{AEFD}}{AD} = \frac{60}{5} = 12 \, \text{см}$.

Теперь определим взаимное расположение прямых $BC$ и $EF$. В квадрате $ABCD$ стороны параллельны, значит $BC \parallel AD$. В прямоугольнике $AEFD$ стороны также параллельны, значит $EF \parallel AD$. Поскольку обе прямые, $BC$ и $EF$, параллельны одной и той же прямой $AD$, они параллельны между собой: $BC \parallel EF$.

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние как длину отрезка $BE$. Для этого докажем, что $BE$ перпендикулярен прямой $EF$.

По условию, плоскости $(ABCD)$ и $(AEFD)$ перпендикулярны. Их общая линия пересечения — прямая $AD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и перпендикулярна линии пересечения $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат, $\angle DAB = 90^\circ$). По свойству перпендикулярных плоскостей, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(AEFD)$.

Из того, что $AB \perp (AEFD)$, следует, что $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AB \perp AE$, что означает, что треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Рассмотрим прямую $EF$. Она перпендикулярна прямой $AE$ (так как $AEFD$ — прямоугольник). Также прямая $EF$ перпендикулярна прямой $AB$ (так как $EF$ лежит в плоскости $(AEFD)$, а $AB$ перпендикулярна этой плоскости). Поскольку прямая $EF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AE$ и $AB$) плоскости $(ABE)$, она перпендикулярна и самой плоскости $(ABE)$. Следовательно, $EF$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $BE$.

Так как $BE \perp EF$, то длина отрезка $BE$ и есть расстояние от точки $B$ до прямой $EF$. Поскольку прямые $BC$ и $EF$ параллельны, это и есть искомое расстояние между ними.

Вычислим длину гипотенузы $BE$ в прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора: $BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}$.

Ответ: 13 см.