Номер 15.18, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.18. Плоскости трапеций $ABCD$ и $AEFD$ с общим основанием $AD$ перпендикулярны, $\angle BAD = \angle EAD = 90^\circ, \angle ADC = \angle ADF = 60^\circ, CD = 4$ см, $DF = 8$ см. Найдите расстояние между:

1) прямыми $BC$ и $EF$;

2) точками $C$ и $F$.

1) Найдите расстояние между прямыми BC и EF

По условию, $ABCD$ и $AEFD$ – трапеции с общим основанием $AD$. Следовательно, их вторые основания параллельны общему, то есть $BC \parallel AD$ и $EF \parallel AD$. Из этого следует, что $BC \parallel EF$. Расстояние между двумя параллельными прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Из условия $\angle BAD = 90^\circ$ и $\angle EAD = 90^\circ$, следует, что боковые стороны $AB$ и $AE$ перпендикулярны основанию $AD$. Так как плоскости трапеций $(ABC)$ и $(AEF)$ перпендикулярны, а прямые $AB$ и $AE$ лежат в этих плоскостях и обе перпендикулярны линии их пересечения $AD$, то угол между этими прямыми равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle BAE = 90^\circ$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку $A$ перпендикулярно прямой $AD$. Эта плоскость содержит прямые $AB$ и $AE$. Так как $BC \parallel AD$ и $EF \parallel AD$, эта плоскость будет перпендикулярна и прямым $BC$ и $EF$. Прямая $BC$ пересекает эту плоскость в точке $B$, а прямая $EF$ – в точке $E$. Следовательно, расстояние между прямыми $BC$ и $EF$ равно длине отрезка $BE$.

Найдем длины катетов $AB$ и $AE$ прямоугольного треугольника $ABE$.

В трапеции $ABCD$ опустим высоту $CH_C$ из точки $C$ на основание $AD$. Тогда $CH_C = AB$. В прямоугольном треугольнике $CDH_C$ катет $CH_C$ противолежит углу $\angle CDH_C = \angle ADC = 60^\circ$.
$AB = CH_C = CD \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично в трапеции $AEFD$ опустим высоту $FH_F$ из точки $F$ на основание $AD$. Тогда $FH_F = AE$. В прямоугольном треугольнике $FDH_F$ катет $FH_F$ противолежит углу $\angle FDH_F = \angle ADF = 60^\circ$.
$AE = FH_F = DF \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину гипотенузы $BE$ в прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора:
$BE^2 = AB^2 + AE^2 = (2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 + 16 \cdot 3 = 12 + 48 = 60$.
$BE = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Ответ: $2\sqrt{15}$ см.

2) Найдите расстояние между точками C и F

Для нахождения расстояния между точками $C$ и $F$ введем декартову систему координат. Пусть точка $A$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AD$, ось $Oy$ вдоль прямой $AB$ и ось $Oz$ вдоль прямой $AE$. Так как $\angle BAD = \angle EAD = \angle BAE = 90^\circ$, оси $Ox, Oy, Oz$ взаимно перпендикулярны.

Длины отрезков $AB$ и $AE$ были найдены в предыдущем пункте: $AB = 2\sqrt{3}$ см, $AE = 4\sqrt{3}$ см. Обозначим длину основания $AD$ как $d$.

Найдем координаты точек $C$ и $F$.
Точка $C$ лежит в плоскости $Oxy$ (плоскость трапеции $ABCD$) и ее аппликата $z_C=0$. Так как $BC \parallel AD$, ордината точки $C$ равна ординате точки $B$: $y_C = AB = 2\sqrt{3}$.
Для нахождения абсциссы $x_C$ рассмотрим проекцию $H_C$ точки $C$ на ось $Ox$ (прямую $AD$). В прямоугольном треугольнике $CDH_C$, катет $DH_C = CD \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Тогда абсцисса точки $H_C$ равна $d - 2$. Это и есть абсцисса точки $C$.
Таким образом, координаты точки $C$: $(d-2, 2\sqrt{3}, 0)$.

Точка $F$ лежит в плоскости $Oxz$ (плоскость трапеции $AEFD$) и ее ордината $y_F=0$. Так как $EF \parallel AD$, аппликата точки $F$ равна аппликате точки $E$: $z_F = AE = 4\sqrt{3}$.
Для нахождения абсциссы $x_F$ рассмотрим проекцию $H_F$ точки $F$ на ось $Ox$ (прямую $AD$). В прямоугольном треугольнике $FDH_F$, катет $DH_F = DF \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. Тогда абсцисса точки $H_F$ равна $d - 4$. Это и есть абсцисса точки $F$.
Таким образом, координаты точки $F$: $(d-4, 0, 4\sqrt{3})$.

Теперь найдем расстояние между точками $C$ и $F$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$CF = \sqrt{(x_F-x_C)^2 + (y_F-y_C)^2 + (z_F-z_C)^2}$
$CF = \sqrt{((d-4)-(d-2))^2 + (0-2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3}-0)^2}$
$CF = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2}$
$CF = \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 16 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12 + 48} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: $8$ см.