Номер 15.15, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.15. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $A$ до этой линии равно $9$ см, $AB = 17$ см, $CD = 12$ см.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи:

• Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
• Точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).
• $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на линию $l$, поэтому $AC \perp l$ и точка $C$ лежит на $l$. Длина $AC$ — это расстояние от точки $A$ до линии пересечения, $AC = 9$ см.
• $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на линию $l$, поэтому $BD \perp l$ и точка $D$ лежит на $l$. Длина $BD$ — это искомое расстояние от точки $B$ до линии пересечения. Обозначим $BD = x$.
• Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $AB = 17$ см.
• Расстояние между основаниями перпендикуляров на линии пересечения равно $CD = 12$ см.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($ \alpha \perp \beta$), а прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$) и перпендикулярна линии их пересечения $l$ ($AC \perp l$), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($AC \perp \beta$).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $CB$ лежит в плоскости $\beta$ (так как точки $C$ и $B$ принадлежат $\beta$). Следовательно, $AC \perp CB$. Это означает, что треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ACB$, где $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $CB$ — катеты:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = 9^2 + CB^2$

$289 = 81 + CB^2$

$CB^2 = 289 - 81 = 208$

Теперь рассмотрим фигуру в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат точки $B$, $C$ и $D$. По условию, $BD$ — перпендикуляр к прямой $l$. Так как точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$, то $BD \perp CD$. Следовательно, треугольник $BDC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle BDC = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BDC$, где $CB$ — гипотенуза, а $BD$ и $CD$ — катеты:

$CB^2 = BD^2 + CD^2$

Подставим известные значения и найденное значение $CB^2$:

$208 = x^2 + 12^2$

$208 = x^2 + 144$

$x^2 = 208 - 144 = 64$

$x = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.