Номер 15.17, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.17. Концы отрезка длиной 6 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 3 см и $3\sqrt{3}$ см. Найдите углы, которые образует этот отрезок с данными плоскостями.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $l$ — линия их пересечения. Обозначим заданный отрезок как $AB$, где его концы $A$ и $B$ лежат на плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно ($A \in \alpha$, $B \in \beta$). По условию, длина отрезка $|AB| = 6$ см.

Расстояние от конца отрезка до линии пересечения — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую $l$. Пусть $A_p$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $l$, а $B_p$ — основание перпендикуляра из точки $B$ на прямую $l$. Тогда по условию $|AA_p| = 3$ см и $|BB_p| = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим пространственную фигуру, образованную отрезками $AB$, $AA_p$, $BB_p$ и $A_pB_p$. Квадрат длины отрезка $AB$ можно найти через длины его проекций на три взаимно перпендикулярные направления. В данном случае это отрезки $AA_p$, $BB_p$ и $A_pB_p$. Связь между ними выражается формулой:$|AB|^2 = |AA_p|^2 + |BB_p|^2 + |A_pB_p|^2$Подставим известные значения в эту формулу:$6^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 + |A_pB_p|^2$$36 = 9 + 27 + |A_pB_p|^2$$36 = 36 + |A_pB_p|^2$Отсюда следует, что $|A_pB_p|^2 = 0$, то есть $|A_pB_p| = 0$.

Это означает, что точки $A_p$ и $B_p$ совпадают. Обозначим эту общую точку через $C$. Таким образом, из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры на линию пересечения $l$ в одну и ту же точку $C$.Поскольку $AC \subset \alpha$, $BC \subset \beta$ и плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то угол между отрезками $AC$ и $BC$ является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.Следовательно, треугольник $ACB$ является прямоугольным с катетами $|AC| = 3$ см, $|BC| = 3\sqrt{3}$ см и гипотенузой $|AB|=6$ см.

Угол, который отрезок образует с плоскостью, — это угол между самим отрезком и его проекцией на эту плоскость.

Найдем угол $\phi_\alpha$, который отрезок $AB$ образует с плоскостью $\alpha$. Для этого нужно спроецировать отрезок $AB$ на плоскость $\alpha$. Точка $A$ уже лежит в плоскости $\alpha$. Так как $BC$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярен линии пересечения $l$, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то отрезок $BC$ перпендикулярен всей плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $C$ является проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$.Таким образом, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC$. Искомый угол $\phi_\alpha$ — это угол $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике $ACB$.Найдем синус этого угла:$\sin(\phi_\alpha) = \sin(\angle BAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Отсюда, $\phi_\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Теперь найдем угол $\phi_\beta$, который отрезок $AB$ образует с плоскостью $\beta$. Аналогично, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC$ (поскольку $AC \perp \beta$). Искомый угол $\phi_\beta$ — это угол $\angle ABC$ в том же прямоугольном треугольнике $ACB$.Найдем синус этого угла:$\sin(\phi_\beta) = \sin(\angle ABC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$Отсюда, $\phi_\beta = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $30^\circ$.