gdz.top
Номер 15.20, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 15. Перпендикулярные плоскости - номер 15.20, страница 172.
№15.19
№15.20 (с. 172)
Условие. №15.20 (с. 172)
15.20. Докажите, что если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.
Решение. №15.20 (с. 172)
Решение 2. №15.20 (с. 172)
Пусть даны плоскость $\alpha$, прямая $a$, не лежащая в плоскости $\alpha$, и плоскость $\beta$.
Дано:
$\alpha$ — плоскость,
$a$ — прямая,
$a \not\subset \alpha$,
$\alpha \perp \beta$,
$a \perp \beta$.
Доказать:
$a \parallel \alpha$.
Доказательство:
Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$), то по определению перпендикулярных плоскостей (или по соответствующей теореме) в плоскости $\alpha$ существует прямая, назовем ее $b$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$. Таким образом, мы имеем: $b \subset \alpha$ и $b \perp \beta$.
По условию задачи, прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).
Таким образом, мы имеем две прямые, $a$ и $b$, которые обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\beta$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, эти прямые параллельны друг другу. Следовательно, $a \parallel b$.
Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Мы установили, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), при этом прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), а прямая $a$ по условию не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$). Из этого следует, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15.20 расположенного на странице 172 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15.20 (с. 172), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.