Номер 15.27, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.27. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $AFB$ перпендикулярны, точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите расстояние от точки $F$ до центра окружности, проходящей через точки $C, D$ и $O$, если $AB = 10$ см, $AF = BF = 15$ см.

Пусть $P$ — центр окружности, проходящей через точки $C$, $D$ и $O$. Эти три точки лежат в плоскости квадрата $ABCD$. Найдем положение точки $P$ в этой плоскости.

Рассмотрим треугольник $CDO$.$ABCD$ — квадрат со стороной $AB=10$ см. Значит, $CD = 10$ см.Точка $O$ — центр квадрата, следовательно, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Диагональ квадрата $AC = BD = AB \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.Точка $O$ делит диагонали пополам, поэтому $OC = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Проверим тип треугольника $CDO$ по теореме, обратной теореме Пифагора:$OC^2 + OD^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100$ см².$CD^2 = 10^2 = 100$ см².Поскольку $OC^2 + OD^2 = CD^2$, треугольник $CDO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В треугольнике $CDO$ гипотенузой является сторона $CD$. Следовательно, точка $P$ — середина отрезка $CD$.

Для нахождения расстояния от точки $F$ до точки $P$ введем трехмерную систему координат.Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Поскольку плоскости $(AFB)$ и $(ABCD)$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $AB$, а $FK$ — высота равнобедренного треугольника $AFB$ (так как $AF=BF$), то $FK \perp AB$ и, следовательно, $FK$ перпендикулярна всей плоскости $(ABCD)$.

Разместим начало координат в точке $K$. Направим ось $Ox$ вдоль луча $KB$, ось $Oy$ — в плоскости квадрата перпендикулярно $AB$ в сторону $CD$, а ось $Oz$ — вдоль луча $KF$.В этой системе координат:

• $A = (-5, 0, 0)$, $B = (5, 0, 0)$
• $D = (-5, 10, 0)$, $C = (5, 10, 0)$

Найдем координаты точки $P$ как середины отрезка $CD$:$P = (\frac{-5+5}{2}; \frac{10+10}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0, 10, 0)$.

Теперь найдем координаты точки $F$. Точка $F$ лежит на оси $Oz$, ее координаты $(0, 0, z_F)$, где $z_F = FK$.Длину $FK$ найдем из прямоугольного треугольника $FKB$ ($∠FKB = 90^\circ$):$FK = \sqrt{FB^2 - KB^2}$.Известно, что $FB = 15$ см, а $KB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.$FK = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.Таким образом, координаты точки $F$ равны $(0, 0, 10\sqrt{2})$.

Наконец, найдем расстояние $FP$ между точками $F(0, 0, 10\sqrt{2})$ и $P(0, 10, 0)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$FP = \sqrt{(x_P - x_F)^2 + (y_P - y_F)^2 + (z_P - z_F)^2}$$FP = \sqrt{(0 - 0)^2 + (10 - 0)^2 + (0 - 10\sqrt{2})^2} = \sqrt{0^2 + 10^2 + (-10\sqrt{2})^2}$$FP = \sqrt{0 + 100 + 200} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.