Номер 15.34, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.34. Плоскости равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$.

Пусть сторона равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ равна $a$. Плоскости, в которых лежат эти треугольники, перпендикулярны. Требуется найти угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$.

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется величиной его линейного угла. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки на линии пересечения.

Линией пересечения плоскостей $(ACD)$ и $(BCD)$ является прямая $CD$.

1. Анализ геометрии фигуры.
В тетраэдре $ABCD$ по условию грани $ABC$ и $ABD$ — равносторонние треугольники. Это означает, что все ребра, выходящие из вершин $A$ и $B$, равны $a$: $AC = BC = AB = a$ и $AD = BD = AB = a$.Следовательно, $AC = AD = BC = BD = a$.Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.- $AC = a, AD = a \implies \triangle ACD$ — равнобедренный.- $BC = a, BD = a \implies \triangle BCD$ — равнобедренный.- Так как $AC=BC$, $AD=BD$ и сторона $CD$ общая, то $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам.

2. Построение линейного угла.
Для нахождения угла между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$ построим их линейный угол. Проведем высоты к общему основанию $CD$ в равных равнобедренных треугольниках $ACD$ и $BCD$.Пусть $K$ — середина ребра $CD$. Поскольку $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равнобедренные с основанием $CD$, их медианы $AK$ и $BK$, проведенные к основанию, являются также и высотами.Следовательно, $AK \perp CD$ и $BK \perp CD$.По определению, угол $\angle AKB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$. Найдем величину этого угла.

3. Вычисление длин сторон треугольника $AKB$.
Рассмотрим $\triangle AKB$. Сторона $AB$ нам известна: $AB = a$. Найдем длины сторон $AK$ и $BK$. Так как $\triangle ACD = \triangle BCD$, то их высоты, проведенные к общему основанию, равны: $AK = BK$.Для вычисления длины $AK$ необходимо найти длину ребра $CD$.Пусть $M$ — середина общего ребра $AB$. Тогда $CM$ и $DM$ — высоты (и медианы) в равносторонних треугольниках $ABC$ и $ABD$ соответственно. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны. $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$. Угол между прямыми $CM$ и $DM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ABD)$, следовательно, $\angle CMD = 90^\circ$.Рассмотрим $\triangle CMD$. Он является прямоугольным и равнобедренным. По теореме Пифагора:$CD^2 = CM^2 + DM^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$.Отсюда $CD = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Теперь вернемся к $\triangle ACD$. Он равнобедренный с боковыми сторонами $AC = AD = a$ и основанием $CD = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. $AK$ — его высота. $K$ — середина $CD$, поэтому $CK = \frac{1}{2}CD = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.Из прямоугольного $\triangle ACK$ по теореме Пифагора:$AK^2 = AC^2 - CK^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{6}}{4})^2 = a^2 - \frac{6a^2}{16} = a^2 - \frac{3a^2}{8} = \frac{5a^2}{8}$.

4. Нахождение искомого угла.
Мы нашли все стороны в $\triangle AKB$:- $AB = a$- $AK = BK = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$Применим теорему косинусов для $\triangle AKB$ чтобы найти угол $\phi = \angle AKB$:$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{5a^2}{8} + \frac{5a^2}{8} - 2 \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{8}} \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{8}} \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{10a^2}{8} - 2 \cdot \frac{5a^2}{8} \cdot \cos(\phi)$$a^2 = \frac{5a^2}{4} - \frac{5a^2}{4} \cdot \cos(\phi)$Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):$1 = \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos(\phi)$$\frac{5}{4} \cos(\phi) = \frac{5}{4} - 1$$\frac{5}{4} \cos(\phi) = \frac{1}{4}$$\cos(\phi) = \frac{1}{5}$Следовательно, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{5})$