Номер 15.33, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.33. Плоскости равностороннего треугольника $AMB$ и квадрата $ABCD$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ и равностороннего треугольника $AMB$ равна $a$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В нашей задаче мы ищем угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата $ABCD$. Точка $D$ уже принадлежит плоскости $ABCD$. Чтобы найти искомый угол, нам нужно найти проекцию точки $M$ на эту плоскость.

Проведём в равностороннем треугольнике $AMB$ высоту $MH$ к основанию $AB$. Поскольку треугольник равносторонний, $MH$ является также его медианой, и, следовательно, точка $H$ — это середина отрезка $AB$.

По условию задачи, плоскость треугольника $AMB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$. Так как отрезок $MH$ лежит в плоскости $AMB$ и перпендикулярен линии пересечения ($MH \perp AB$), то $MH$ перпендикулярен всей плоскости $ABCD$.

Таким образом, $H$ — это ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $ABCD$. Прямая $HD$ является проекцией прямой $MD$ на плоскость $ABCD$. Искомый угол — это угол между наклонной $MD$ и её проекцией $HD$, то есть угол $\angle MDH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MDH$ (угол $\angle MHD = 90^\circ$, так как $MH$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит $HD$). Для нахождения угла $\angle MDH$ вычислим длины катетов $MH$ и $HD$.

1. Найдём длину катета $MH$. $MH$ является высотой в равностороннем треугольнике $AMB$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$MH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём длину катета $HD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$, который лежит в плоскости квадрата. Угол $\angle DAH = 90^\circ$. Катет $AD = a$. Катет $AH$ равен половине стороны $AB$, так как $H$ — середина $AB$, то есть $AH = \frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора:
$HD^2 = AD^2 + AH^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$HD = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

3. Теперь найдём тангенс искомого угла $\angle MDH$ в прямоугольном треугольнике $MDH$:
$\tan(\angle MDH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MH}{HD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$.

Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.