Номер 15.32, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.32. Точка $M$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$ и находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата $ABCD$ до плоскости $CMD$, если сторона квадрата равна $4$ см.

Пусть O — центр квадрата ABCD, который является точкой пересечения его диагоналей. Поскольку точка M равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD$), её проекция на плоскость квадрата совпадает с центром описанной около него окружности, то есть с точкой O. Это означает, что отрезок MO перпендикулярен плоскости квадрата ABCD.

Длина отрезка MO — это расстояние от точки M до плоскости квадрата, по условию $MO = 4\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $AB = BC = CD = DA = 4$ см.

Требуется найти расстояние от центра квадрата O до плоскости CMD. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость CMD.

Для нахождения этого расстояния рассмотрим вспомогательные построения. Пусть K — середина стороны CD. В плоскости квадрата отрезок OK соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OK \perp CD$. Длина OK равна половине стороны квадрата:$OK = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и K. Так как $MO \perp (ABCD)$, то $MO \perp OK$. Следовательно, треугольник MOK — прямоугольный с прямым углом при вершине O.

В треугольнике CMD отрезок MK является медианой, проведенной к основанию CD. Так как M равноудалена от C и D, треугольник CMD является равнобедренным ($MC=MD$), и поэтому его медиана MK также является и высотой, то есть $MK \perp CD$.

Найдем длину гипотенузы MK в прямоугольном треугольнике MOK по теореме Пифагора:$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Искомое расстояние от точки O до плоскости CMD — это длина перпендикуляра, опущенного из O на эту плоскость. Проведем в треугольнике MOK высоту OH к гипотенузе MK. Докажем, что OH и есть этот перпендикуляр.

1. По построению $OH \perp MK$.
2. Ранее было установлено, что $CD \perp OK$ и $CD \perp MO$ (т.к. MO перпендикулярен всей плоскости ABCD). Поскольку OK и MO — пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости MOK, то прямая CD перпендикулярна всей плоскости MOK. А значит, CD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и OH, то есть $CD \perp OH$.

Так как отрезок OH перпендикулярен двум пересекающимся прямым MK и CD в плоскости CMD, то OH перпендикулярен плоскости CMD. Таким образом, длина OH — искомое расстояние.

Длину высоты OH в прямоугольном треугольнике MOK можно найти, приравняв выражения для его площади:$S_{\triangle MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot OH$$MO \cdot OK = MK \cdot OH$$OH = \frac{MO \cdot OK}{MK}$Подставим известные значения:$OH = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: расстояние от центра квадрата ABCD до плоскости CMD равно $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.