Номер 15.38, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.38. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $BEFC$ перпендикулярны, $AB = 15 \text{ см}$, $BE = 20 \text{ см}$. Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $DE$.

Прямые $BC$ и $DE$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью метода ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Выберем плоскость, перпендикулярную прямой $BC$. Так как $ABCD$ и $BEFC$ — прямоугольники, то их стороны, смежные со стороной $BC$, перпендикулярны ей: $AB \perp BC$ и $BE \perp BC$. Прямые $AB$ и $BE$ пересекаются в точке $B$ и определяют плоскость $(ABE)$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BE$), лежащим в плоскости $(ABE)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ABE)$.

Теперь найдем ортогональные проекции прямых $BC$ и $DE$ на плоскость $(ABE)$.

• Проекцией прямой $BC$ на перпендикулярную ей плоскость $(ABE)$ является точка их пересечения — точка $B$.
• Для нахождения проекции прямой $DE$ найдем проекции ее конечных точек $D$ и $E$. Точка $E$ уже лежит в плоскости $(ABE)$, поэтому ее проекция совпадает с ней самой. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \parallel BC$. А поскольку $BC \perp (ABE)$, то и параллельная ей прямая $AD \perp (ABE)$. Это означает, что проекцией точки $D$ на плоскость $(ABE)$ является точка $A$.

Следовательно, проекцией прямой $DE$ на плоскость $(ABE)$ является прямая $AE$.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $DE$ равно расстоянию между их проекциями на плоскость $(ABE)$, то есть расстоянию от точки $B$ до прямой $AE$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. По условию, плоскости $(ABCD)$ и $(BEFC)$ перпендикулярны, и они пересекаются по прямой $BC$. Отрезок $AB$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и перпендикулярен $BC$. Отрезок $BE$ лежит в плоскости $(BEFC)$ и также перпендикулярен $BC$. Угол между прямыми $AB$ и $BE$ является линейным углом двугранного угла между данными плоскостями. Так как плоскости перпендикулярны, то $\angle ABE = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle ABE$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ известны катеты: $AB = 15$ см и $BE = 20$ см. Расстояние от точки $B$ до прямой $AE$ — это длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AE$.

Найдем длину гипотенузы $AE$ по теореме Пифагора:$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Площадь треугольника $ABE$ можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту к ней.$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE$$S = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$Приравнивая эти два выражения, получаем:$AB \cdot BE = AE \cdot h$Отсюда находим высоту $h$:$h = \frac{AB \cdot BE}{AE} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $BC$ и $DE$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.