Номер 15.42, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 15. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15.42, страница 174.

Условие.

15.42. В четырёхугольной пирамиде $MABCD$ боковое ребро $MA$ перпендикулярно ребру основания $CD$. Известно, что $\angle BAD + \angle CDA = 90^\circ$. Найдите угол между плоскостями $MAB$ и $MCD$.

Решение.

Решение 2.

Обозначим плоскости $(MAB)$ и $(MCD)$ как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения.

Найдем линию пересечения плоскостей $(MAB)$ и $(MCD)$. Плоскость $(MAB)$ содержит прямую $AB$, а плоскость $(MCD)$ содержит прямую $CD$. Если прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $K$, то эта точка принадлежит обеим плоскостям. Точка $M$ также принадлежит обеим плоскостям по определению. Следовательно, линия пересечения плоскостей — это прямая $MK$.

Рассмотрим, пересекаются ли прямые $AB$ и $CD$ и под каким углом. Продлим отрезки $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Такое пересечение существует, так как если бы $AB \parallel CD$, то четырехугольник $ABCD$ был бы трапецией, и сумма углов при боковой стороне $AD$ была бы равна $180^\circ$, то есть $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$, что противоречит условию. Рассмотрим треугольник $ADK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $D$ — это углы $\angle KAD$ и $\angle KDA$. При стандартной конфигурации выпуклого четырехугольника $ABCD$ эти углы совпадают с углами $\angle BAD$ и $\angle CDA$. Тогда угол при вершине $K$ равен:$\angle AKD = 180^\circ - (\angle KAD + \angle KDA) = 180^\circ - (\angle BAD + \angle CDA)$.По условию $\angle BAD + \angle CDA = 90^\circ$, следовательно:$\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Это означает, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Теперь докажем перпендикулярность прямой $CD$ и плоскости $(MAB)$.Мы установили, что $CD \perp AB$ (так как точка $K$ лежит на прямой $AB$).По условию задачи дано, что $MA \perp CD$.Прямые $AB$ и $MA$ пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость $(MAB)$.Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $MA$), лежащим в плоскости $(MAB)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(MAB)$.

Наконец, найдем угол между плоскостями $(MAB)$ и $(MCD)$.Плоскость $(MCD)$ проходит через прямую $CD$. Мы только что доказали, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(MAB)$.По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.Следовательно, плоскость $(MCD)$ перпендикулярна плоскости $(MAB)$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.