Номер 15.48, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.48. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = a$. Трапеция равнобокая, значит $AB = CD$ и углы при основаниях равны: $\angle DAB = \angle CDA$ и $\angle ABC = \angle BCD$.

Пусть диагональ AC является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Это означает, что $\angle DAC = \angle CAB$. Обозначим $\angle DAC = \angle CAB = \alpha$. Тогда острый угол трапеции $\angle DAB = 2\alpha$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы при секущей AC равны: $\angle BCA = \angle DAC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник ABC. В нём два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BC = a$.

Так как трапеция ABCD равнобокая, её боковые стороны равны: $CD = AB = a$.

По условию, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник ACD является прямоугольным.

В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle DAB = 2\alpha$.

Сумма углов в треугольнике ACD равна $180^\circ$. Запишем уравнение для углов треугольника ACD:

$\angle DAC + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$

$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь мы знаем углы трапеции. Острый угол при большем основании: $\angle DAB = \angle CDA = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Мы знаем, что катет $CD = a$ и противолежащий ему угол $\angle CAD = \alpha = 30^\circ$. Можем найти большее основание AD, которое в данном случае является гипотенузой в треугольнике, образованном диагональю и сторонами трапеции.

Ошибочное предположение: AD не является гипотенузой в $\triangle ACD$. Гипотенуза - сторона напротив прямого угла. В $\triangle ACD$, $\angle ACD = 90^\circ$, значит гипотенуза - AD. Мое рассуждение было верным. Продолжим.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике ACD:

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$

$\sin(30^\circ) = \frac{a}{AD}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD}$

Отсюда $AD = 2a$.

Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота. Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD.

В треугольнике CHD гипотенуза $CD = a$, а угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$.

Высота трапеции $h = CH$. Из определения синуса:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции S вычисляется по формуле:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $ \frac{3a^2\sqrt{3}}{4} $.